Suatu cara yang menarik untuk menentukan dua himpunan, dapat
dilakukan dengan cara membuat korespondensi satu-satu antara elemen-elemennya
walaupun tidak mengetahui banyaknya anggota. Hal ini
seperti telah digunakan oleh orang-orang yang tidak mengenal bilangan
dan orang buta huruf’ pada jaman dahulu. Misalkan, pemilik domba memastikan
bahwa sekelompok domba yang datang dari pasar sama banyaknya dengan domba
sebelum berangkat ke pasar. Takik-takik dipotong pada sebuah batang kayu yang
disebut batang hitungan. Setiap takik mengacu pada seekor domba. Kemudian
batang hitungan tersebut dibelah menurut panjangnya. Masing-masing setengah dan
belahan itu menjadi “belahan dan gambaran”
lainnya. Pemilik tersebut menyimpan separuhnya, sedangkan penggembala membawa
separuhnya lagi. Dengan cara demikian masing-masing orang menyimpan batang
hitungan yang menunjukkan banyaknya domba keseluruhan.
Bilangan dan Membilang
Bilangan
dan membilang adalah dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Hal ini mungkin
karena ide bilangan belum sempurnah tanpa dapat membilang. Piaget telah
menunjukkan bahwa anak – anak dapat membilang tanpa mengenal konsep bilangan
(yang dimengerti oleh anak – anak
sendiri, hal ini akan dijelaskan lebih lanjut). Jika kita membilangkan
banyak apel dalam mangkuk maka kita akan menyebut suatu bilangan tertentu.
Membilang dalam pengertian sehari-hari
adalah suatu cara untuk menemukan sifat tertentu dari suatu kumpulan objek –
objek tertentu yang disebut bilangan.
Ketika nama bilangan digunakan sebagai daftar kata- kata, seperti P.C.49, kata “bilangan” tidak digunakan dalam
pembahasan ini. Hal ini berarti bilangan dan membilang merupakan ide yang
sangat erat kaitannya. Diantara dua hal tersebut bilangan merupakan hal
mendasar dari pada membilang.
Himpunan
Sudah dinyatakan bahwa bilangan adalah ide yang
lebih mendasar. Sebelum kita membilang, kita harus mengetahui objek – objek
yang termasuk dan objek yang tidak termasuk. Misalnya dalam sebuah ruangan yang
penuh dengan orang, kemudian kita diminta membilang banyaknya gadis yang
cantik. Kesulitan kita yang pertama adalah menentukan siapa yang termasuk di
dalamnya? Andaikan kita dapat menentukan
menurut aturan kita sendiri, apakah orang lain menyetujui aturan kita itu?.
Sangatlah berbahaya jika kita kehilangan salah satu dasar matematika yang
paling penting yaitu kesepakatan (persetujuan) dasar yang rasional.
Jadi
untuk tujuan–tujuan matematika kita harus menolak permintaan–permintaan seperti
di atas dan menyetujui untuk membatasi perhatian kita pada kumpulan objek–objek
yang didefinisikan dengan baik. Selanjutnya, kumpulan objek yang didefinisikan
dengan baik itu disebut dengan himpunan.
Sedangkan objek–objeknya disebut elemen.
Sifat Karakteristik Suatu Himpunan
Bagaiman
kita dapat mendefinisikan kumpulan objek–objek dengan baik ? Metode yang
digunakan dalam contoh tersebut adalah beberapa macam sifat atau deskripsi
singkat. Misalnya sebuah apel (bukan suatu buah per atau buah persik) yang
didalam mangkuk ( bukan dalam piring atau pada pohonnya), maka apel tersebut
dalam suatu himpunan. Namun jika ada apel yang tidak sesuai dengan deskripsi
tersebut maka apel itu tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Suatu sifat
(dalam contoh diatas , sifat kembar) yang mendefinisikan anggota suatu
himpunan disebut sifat karakteristik himpunan.
Cara lain untuk mendefinisikan suatu himpunan
adalah dengan mendaftar elemen–elemennya. Sebagai contoh, kita dapat
mendefinisikan suatu himpunan yang terdiri atas bulan, telinga kiri dan monumen
Nelson. Dengan mendefinisikannya sebagai himpunan maka dapat dinyatakan
himpunan itu mempunyai sifat
karakteristik, yaitu nama–nama elemen
yang terdaftar pada himpunan itu. Sifat karakteristik semacam itu tidak dapat
mengarah pada pembentukan konsep (ide) baru. Himpunan yang menarik adalah
himpunan yang elemennya dapat mengabstraksikan suatu konseb baru. Namun
demikian, pendaftaran elemen himpunan dengan sempurna merupakan cara yang baik
untuk mendefinisikan suatu himpunan. Seperti cara (lain) yang sesuai dengan kriteria yang
diberikan di atas. Hal ini mengilustrasikan dua petunjuk yang dapat kita
gunakan dalam dalam memikirkan himpunan dan sifat karakteristiknya. Kita dapat
mengumpulkan beberapa kriteria dan mengumpulkan objek – objek yang sesuai dengan karakter tersebut. Sebagai
contoh, himpunan ibukota–ibukota negara di Eropa atau himpunan pohon–pohon di
pulau Inggris. Kita dapat membentuk beberapa kumpulan objek yang kita pilih
dari kumpulan yang terdefinisi dengan baik dan mencoba menemukan sesuatu yang
dimiliki bersama- sama. Hal ini sangat
baik dalam pencapaian konsep baru dan merupakan salah satu cara yang akan
digunakan dalam pengembangan konsep bilangan.
Tidak
ada pembatasan pada jenis objek dari himpunan. Objek tersebut dapat berupa
objek material (contohnya himpunan uang logam dalam saku saya), atau objek
abstrak (contohnya tujuh petisi kardinal). Bahkan kita memiliki suatu himpunan
tanpa objek sama sekali, misalnya himpunan sapi yang bersayap. Himpunan yang
tidak mempunyai elemen disebut himpunan kosong. Kita juga mempunyai
himpunan yang elemen–elemennya merupakan suatu himpunan. Misalnya “ Manchaster
United ” adalah nama tim sepak bola yang elemen–elemennya terdiri atas para pemain sepak bola. Himpunan
ini merupakan elemen dari himpunan lain yang
elemen–elemennya adalah tim–tim sepak bola di Asosiasi sepak bola. Contoh
seperti ini sangat banyak dalam kehidupan sehari-hari.
Hal
tersebut seringkali berguna untuk menyatakan tentang objek–objek yang termasuk
dan objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan. Misalnya, sorang guru
biologi mencoba mengarahkan kepada siswanya untuk mendefinisikan sendiri
tentang seekor ikan, dan mengatakan “beri tahu saya sesuatu yang bukan
merupakan seekor ikan” seorang siswa menjawab “ Mount Everes”, yang lain
menjawab “harimau”, dan lainya menjawab “ikan paus”. Mengapa kita tiba-tiba
mengatakan bahwa jawaban siswa pertama adalah jawaban seorang siswa paling
bodoh, jawaban yang kedua tidak tepat dan jawaban terakhir adalah jawaban yang
benar. Hal ini secara tidak langsung menyatakan bahwa apa yang dibicarakan
tersebut adalah hewan–hewan, sehingga
jawaban “Mount Everest” meskipun benar tetapi tidak relevan. Tidak
seorang (siswa) pun yang memikirkan “harimau” sebagai suatu kemungkinan yang
termasuk dalam himpunan ikan–ikan. Jadi contoh jawaban tidak memberi arti dalam
pembahasan itu. Jawaban “ikan paus” mungkin dianggap sebagai seekor ikan oleh
beberapa siswa sehingga jawaban ini mengindikasikan bahwa si penanya sebenarnya
bermaksud mengatakan “beritahu kepada saya seekor hewan air yang bukan
merupakan seekor ikan”.
Seharusnya
guru tidak ragu mengatakan seperti itu.
Secara matematika, guru seharusnya
mendefinisikan “semesta pembicaraan” yang disebut juga ”himpunan universal ”
atau “universe”. Semesta pembicaraan
adalah nama yang diberikan pada himpunan objek yang sedang dibicarakan dalam
diskusi tertentu; pertama kali nama ini ditetapkan maka himpunan-himpunan yang
lain mengarah pada himpunan yang elemen–elemennya hanya dalam semesta
pembicaraan.
Ide
lain yang kita perlukan adalah himpunan bagian. Misalnya, himpunan perangko–perangko
di laci meja. Saya boleh membaginya menjadi himpunan perangko satu sen,
himpunan perangko dua sen dan sebagainya. Himpunan-himpunan tersebut merupakan
himpunan bagian dari himpunan pertama. Dengan kata lain, “semua himpunan
tersebut merupakan himpunan–himpunan bagian dari semesta pembicaraan”.
Pentingnya
ide tentang suatu himpunan dan hubungan antar ide akan berkembang sebagai jembatan antara fungsi inteligensi
dalam kehidupan sehari-hari dengan pemikiran matematis. Dari satu sisi, konsep
suatu himpunan merupakan pengenalan sesuatu yang kita lakukan setiap saat
mengklasifikasikan sesuatu yang kita temui. ”Apakah ini?” berarti ”ini
tergolong pada kelas apa atau himpunan apa?”. Tetapi pertama kali secara
eksplisit ide tentang suatu himpunan dan ide yang didapat dari himpunan akan
banyak bermanfaat (membantu) dalam menjelaskan ide matematika yang dasar dan
ide matematika yang tinggi.
Apa yang Dimaksud Dengan “Tiga”?
Hal yang sangat beralasan tentang pertanyaan
diatas yaitu, mengapa kita ingin mengetahui? Saya dapat mengerti tentang tiga
cangkir kopi atau tiga ekor sapi ketika saya melihatnya, selanjutnya apa yang
saya butuhkan ? sebelumnya kita harus percaya bahwa apa yang akan mengikutinya
jika kita membaca judul diatas, bukan panjang dan sulitnya jawaban yang
dipenuhi untuk suatu pertanyaan.
Jawaban pertama, suatu contoh
yang menanyakan sesuatu yang sudah jelas. Pengetahuan kita menjadi kurang baik
jika tidak ada seorangpun yang bertanya tentang mengapa suatu objek kelihatan
berwarna atau mengapa kaki seekor katak mati bergerak–gerak pada kondisi
tertentu. Orang yang telah tahu jawaban hal-hal semacam itu tidak akan
menanyakannya, tetapi baik adalah lawan dari hal yang kurang baik dan sekarang
kita dalam situasi yang lebih baik karena adanya penemuan dari Newton dan
Volta.
Jawaban
kedua adalah kita dapat menggunakan konsep “tiga”
secara efektif pada tingkat intuitif
tanpa menganalisisnya. Sebagian besar dari kita pada umumnya dapat
menggunakan (mengatur) dengan baik dalam kehidupan sehari-hari tanpa harus
menjadi ahli matematika. Kita menggunakan teknik-teknik matematika yang
sederhana tanpa memahaminya, seperti kebanyakan orang dapat menggunakan mobil
dan televisi tanpa memahami tentang mobil dan televisi tersebut.
Bilangan-bilangan
negatif, pecahan, irasional adalah merupakan generalisasi dari ide-ide yang
diambil dari membilang 1, 2, 3, … (oleh para ahli matematika disebut bilangan
asli). Seluruh aljabar elementer dimulai dari kalimat- kalimat umum tentang
bilangan-bilangan. Bilangan asli adalah suatu konsep yang contoh khususnya
seperti bilangan 1, 2, 3, … . Jadi kita akan memikirkan apa yang dimaksud
dengan “3” ?.
Cara
yang baik untuk memahami suatu ide pada tingkat reflektif adalah mengimajinasikan
bagaimana kita dapat menyampaikan kepada orang lain. Dalam hal ini kita berasumsi bahwa seseorang tidak memiliki
konsep-konsep dari aturan yang sama atau aturan yang lebih tinggi yang akan mendorong
kita untuk menggunakan suatu definisi
dengan benar. Seperti halnya kita akan menyampaikan konsep “ merah” dengan menunjukkan
bermacam-macam objek merah. Dalam hal
ini kita seharusnya mencari bermacam-macam objek yang menunjukkan konsep “tiga“. Dalam melakukan hal terebut kita akan menemukan bahwa “ semua objek yang kita pilih adalah himpunan-himpunan
itu sendiri, yaitu tiga apel, tiga jari, tiga pensil, tiga kursi. Tiga adalah sifat
karakteristik suatu kumpulan tertentu dari suatu himpunan-himpunan yang dapat
memilih suatu variasi untuk mendorong siswa dalam membentuk konsepnya sendiri.
HIMIMPUNAN-HIMPUNAN YANG SESUAI
Dengan cara yang sama kita
dapat menyampaikan kepada siswa tentang konsep bilangan 4, 5, 6, ... . Untuk menyanpaikan konsep-konsep seperti 17,
48 dengan cara ini juga dapat dilakukan walaupun membutuhkan waktu yang lebih
lama. Tetapi masalah lain akan timbul. Misalkan para siswa mengetahui tentang
pengertian bilangan 1, 2, 3, ... , 17, ... , 48, ... Bagaianakah siswa dapat memberikan beberapa
himpunan baru dan menentukan sendiri sifat yang ada pada himpunan tersebut.
Dengan kata lain, berapakah bilangannya? Kesulitan semakin meningkat dengan
semakin banyaknya elemen dalam himpunan.
Tentu
saja siswa belum dapat membilang. Dalam
semua kemungkinan, hal inilah yang sebagian besar dan kita secara
langsung dan tiba-tiba mengajarkan seperti itu. Jika kita melakukannya secara
perlahan-lahan, kita akan sampai pada perhitungan yang bertahap dan menjadi
cara yang menyangkut beberapa ide lain yang sangat berguna pada waktu yang akan
datang.
Misalkan kita menggunakan kata “merah”
sebagai titik awal. Kemudian seseorang
menginginkà n cara yang sederhana/ mudah untuk menentukan apakah sebuah objek
baru yang ditemukan termasuk merah atau tidak. Suatu hal yang harus dilakukan
adalah mengumpulkan semua objek yang berwarna merah dan membandingkan dengan
objek yang ditemukan. Jika warna itu cocok dengan contoh maka dia akan menandai
objek-objek baru itu ke dalam kelompok “merah”. Cara tersebut juga dapat
digunakan untuk menentukan warna objek
lain, yaitu dengan cara memeriksa dan memasangkan dengan objek-objek
standar.
Jika
eksperimen ini dilakukan maka segera dapat diketahui bahwa himpunan-himpunan
yang memiliki warna merah, biru, kuning, hijau, .... untuk sifat karakteristik
pasti didapatkan. Objek-objek yang cocok warnanya dengan cara memasangkan
seperti itu justru tidak tepat untuk beberapa objek yang dimasukkan dalam warna
biru kehijau-hijauan, mungkin dapat dianggap hijau kebiru-biruan.
Memasangkan himpunan-himpunan bilangan dapat
dilakukan dengan sangat teliti dan kita sering melakukannya dalam kehidupan
sehari-hari. Misalkan, himpunan cawan pada sebuah nampan, kita dapat
memasangkan himpunan cawan dengan himpunan cangkir dan himpunan sendok teh yang
masing-masing banyaknya sama. Jika banyaknya cawan,cangkir dan sendok teh sama
banyak maka dengan mudah kita memastikan bahwa untuk masing-masing cawan
tersebut saling berpasangan dengan setiap cangkir, dan sebaliknya. Pasti ada
sebuah cangkir untuk setiap cawan dan sebuah cawan untuk sebuah cangkir,
begitupula untuk himpunan sendok teh. Mamasangkan seperti itu disebut dengan korespondensi satu-satu. Jika kita
melakukan korespondensi satu-satu antara himpunan cawan dengan himpunan cangkir
dan himpunan cawan dengan himpunan sendok teh maka kita jugamelakukan
korespondensi satu-satu antara himpunan cangkir dengan himpunan sendok.
Suatu cara yang menarik untuk menentukan dua himpunan, dapat
dilakukan dengan cara membuat korespondensi satu-satu antara elemen-elemennya
walaupun tidak mengetahui banyaknya anggota. Hal ini
seperti telah digunakan oleh orang-orang yang tidak mengenal bilangan
dan orang buta huruf’ pada jaman dahulu. Misalkan, pemilik domba memastikan
bahwa sekelompok domba yang datang dari pasar sama banyaknya dengan domba
sebelum berangkat ke pasar. Takik-takik dipotong pada sebuah batang kayu yang
disebut batang hitungan. Setiap takik mengacu pada seekor domba. Kemudian
batang hitungan tersebut dibelah menurut panjangnya. Masing-masing setengah dan
belahan itu menjadi “belahan dan gambaran”
lainnya. Pemilik tersebut menyimpan separuhnya, sedangkan penggembala membawa
separuhnya lagi. Dengan cara demikian masing-masing orang menyimpan batang
hitungan yang menunjukkan banyaknya domba keseluruhan.
HIMPUNAN STANDAR DAN KETERURUTAN
Sifat
transitif yang sangat penting telah disebutkan yaitu dalam sebuah kelas dan
himpunan-himpunan yang dipasangkan, seseorang dapat memeriksa sebuah himpunan
baru yang termasuk atau tidak termasuk dalam kelas ini.
Pada
contoh warna ”merah” di atas kita mengetahui bahwa semua siwa mungkin membawa
sebuah objek dalam sakunya masing-masing dan kemudian dibandingkan dengan
objek-objek baru yang telah didapat mungkin merupakan objek-objok standarnya
untuk masing-masing warna. Untuk mencari bilangan dan sebuah himpunan baru maka
ia perlu memiliki sebuah himpunan bilangan (misalnya himpunan bilangan 7,
himpunan bilangan 3, dan seterusnya) yang akan dibandingkan dengan himpunan
bilangan baru tersebut. Himpunan- himpunan standar ini dia akan akan memilih basis
yang memudahkannya sehingga
bagian-bagian dari tubuhnya dapat digunakan sebagai contoh bilangan itu sendiri
(standar). Misalkan himpunan bilangan 2 dia memilih kedua matanya, untuk himpunan bilangan 5 dia
memilih jari-jarinya, untuk himpunan bilangan 4 dia menggunakan tungkai dan
lengannya untuk himpunan bilangan 1 dia memilih hidungnya. Menyebut
himpunan-himpunan ini dengan “mata”, ”jari” , ”tungkai” dan ”lengan” , ” hidung”
akan mengarah pada terjadinya nama bilangan-bilangan ”dua”, “lima” , ”empat”,
“satu”.
Pada bentuk ini, himpunan-himpunan
standarnya tentu mudah, tetapi masih merupakan sesuatu yang sulit untuk
dilaksanakan. Alasannya karena urutannya yang sebarang. Untuk mencari bilangan
dari sebuah himpunan yang baru dia harus mencoba memasangkan dengan himpunan
standar yang dia pikirkan sesukanya. Jika dia salah maka dia akan mengambil
yang lainnya. Jadi belum ada aturan dalam uji cobanya itu.
Cara
yang jelas untuk mengetahui hal tersebut dilakukan dengan mencoba menggunakan
himpunan standar yang teratur dimulai dengan memasukkan obyek-obyek yang kecil,
kemudian obyek-obyek terkecil dan obyek-obyek yang tersisa dan seterusnya.
Sehingga inilah yang dikatakan mengatur sesuai dengan urutannya. Karena dia
tidak dapat menyusun lagi (kembali) anatominya maka dia akan melakukan dengan
cara meletakkan nama-nama bilangan sesuai dengan urutannya yaitu “hidung”,
“mata”, “tungkai dan lengan” dan seterusnya.
Kelemahan
yang sangat jelas tampak bahwa himpunan standar antara “mata” dan “lengan dan
tungkai” tersebut tidak ada. Semanggi
mungkin contoh yang mudah diingat sebagai bilangan tiga. Jadi sekarang urutan
himpunan-himpunan standarnya menjadi hidung, mata, semanggi, lengan dan tungkai,
tangan.
MEMBILANG
Pada tahap terakhir tersebut,
untuk membilang kita tidak mengetahui caranya atau kita tidak tahu apakah hal
tersebut datang sebagai kemampuan genius ataukah penemuan itu terulang pada
saat dan tempat yang berbeda di seluruh pelosok dunia ini atau tidak. Tetapi
keduanya itu untuk kesederhanaan dan keefektifannya, untuk kontribusinya
dalam masyarakat maka pasti kita
meletakkannya sama dengan kesederhanaan dan keefektifan dengan roda.
Pada
tahap membilang ini, kita menggunakan nama-nama bilangan tersebut sebagai
himpunan-himpunan standar.
Bilangan Himpunan
Standar
Pada penemuan notasi Berisi bilangan-bilangan dalam kata
hidung {Hidung}
Mata {Hidung, mata}
Semanggi {hidung, mata, semanggi}
Tungkai dan lengan {hdg, mt, smg, tgk & lgn}
Tangan {hdg, mt, smg, tgk & lgn, tgn}
Penemuan
bilangan dan himpunan obyek-obyek dilakukan seperti cara sebelumnya, yaitu memasangkan satu-satu
(kores pondensi satu-satu) antara elemen-elemen suatu himpunan standar dengan
elemen-elemen himpunan baru yang sudah
ada. Hal ini merupakan proses pemasangan yang tepat untuk dilakukan dengan cara
menyentuh, menunjukkan, melihat, atau hanya memikirkan objek-objek tersebut
untuk dihitung.
Sebagai ganti dari proses coba–coba,
pertaima-tama mencari himpunan yang obyeknya terlalu besar kemudian terlalu
kecil sampai kita mendapatkan yang benar. Kita lebih mudah mencocokkan
kata-kata bilangan tersebut dengan elemen–elemen dan himpunan yang sudah ada
sampai semuanya ada pasangannya. Hal terakhir yang kita katakan ini adalah bilangan dan himpunan kata-kata yang
telah kita gunakan dan diseleksi dengan otomatis
Hal
inilah yang kita lakukan setiap kali membilang. Pada saat himpunan-himpunan
standar diatur, kita hampir saja menghitung. Tetapi ini tidak mengurangi
pentingnya tahap terakhir; sementara itu bilangan-bilangan dari himpunan-
himpunan yang anggotannya cukup sedikit dapat mudah diperoleh dengan cara
mencoba-coba memasangkan. Ini merupakan hal yang dilakukan dengan teknik membilang,
sehingga kita dapat menemukan bilangan dari suatu himpunan dengan cepat dan
benar.
MENGHITUNG
DAN ARITMETIKA
Sebagai
contoh tentang ketergantungan dalam matematika adalah menghitung. Misalkan pernyataan 7 + 5 = 12.
Ini merupakan hal yang biasa dalam matematika, tetapi marilah kita
memperhatikan proses abtraksi yang menyebabkan pernyataan matematika tersebut
dan mewujudkan dalam situasi fisik. Misalkan kita menpunyai sebuah baki yang
berisi 7 cangkir dan sebuah baki lagi
yang berisi 5 cangkir. Semua cangkir diletakkan pada sebuah baki yang sama,
maka berapakah banyaknya seluruh cangkir di sana? Metode ini adalah metà denya
anak-anak, tetapi kita akan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut
tergantung pada membilang. Pertama,
keluarkan kumpulan 7 keping penghitung
atau 7 batang korek api, kemudian hipunan lainnya yang terdiri atas 5 keping.
Kemudian letakkan keduanya bersama-sama dan hitunglah hasilnya. Selanjutnya
mungkin kita menanbah (menggunakan bantuan jari tangan) dengan cara membilang
dari ‘tujuh’ kemudian lima kata lagi yaitu ’delapan, sembilan, sepuluh,
sebelas, dua belas’. Membilang (yang digaris bawahi tersebut diatas)
mengimplikasikan bahwa himpunan yang terdiri atas 5 dihitung bersama dengan
himpunan dari 7. Sekarang diperlukan beberapa alat perlengkapan seperti jari
tangan untuk mendapatkan 5 kata dan
himpunan yang kedua. Kata terakhir yang kita ucapkan itu sekarang
menjadi bilangan untuk hinpunan gabungan, bukan untuk himpunan kedua.
Disini
kita tidak dapat menganalisis konsep aritmetika sebagaimana yang dilakukan
dalam membilang, karena semua tahap di atas akan berubah menjadi beberapa
aturan-aturan. Kita boleh yakin dari contoh-contoh tentang ketergantungan
aritmetika pada membilang, dan mungkin menganalisis beberapa aktifitas aritmetika
dasar yang berkaitan dengan konsep-konsep himpunan, korespondensi satu-satu,
dan membilang, seperti perkalian dan pembagian. Sebelumnya kita lihat hubungan
antara membilang dan bilangan sebagaiana yang dihadapi anak–anak pada saat ini.
KONSEP MEMBILANG DAN BILANGAN YANG DIMILIKI ANAK–ANAK
Biasanya
sebelum anak-anak masuk sekolah, mereka belajar mengucapkan nama-nama bilangan
secara berurutan dari satu sampai sepuluh. Mereka dapat memasangkan kata-kata
bilangan tersebut dengan obyek–obyek pada beberapa himpunan tanpa banyak
kesalahan. Jadi walaupun mereka masih sangat kecil tetapi mereka sering dapat
melakukan dengan benar tentang bilangan-bilangan dan berbagai macan himpunan
kecil (anggotanya sedikit). Hal ini tidak jauh berbeda dengan membilang,
kecuali untuk hal yang mendetail mereka tidak perlu mempunyai konsep tentang bilangan.
Piaget
telah membuktikan ha ini dengan
bermacam-macam eksperimen yang kesimpulannya sebagai berikut. Dua himpunan yang
disatukan yaitu enam telur yang dimasukkan dalam enam gelas. Seorang anak ditanya
apakah banyaknya telur sama dengan
banyaknya gelas? Dia mengatakan ”ya”. Kemudian telur-telur itu dikeluarkan dari
dalam gelas dan dikunpulkan, sehingga gelas-gelas itu kosong. Kemudian anak itu
ditanya lagi ”apakah banyaknya telur itu cukup bila dimasukkan dalam
gelas-gelas itu atau tidak? Anak-anak yang berumur lima tahun itu menjawab ”tidak”
. Padahal ketika disuruh membilang telur-telur dan gelas-gelas itu, dia dapat
melakukan dengan benar. Sekali lagi, hal itu ditanyakan kepada anak tadi,
“apakah banyaknya telur dan gelas-gelas itu sama atau tidak? Dia tetap menjawab “tidak” , Dia belum mengetahai (mengerti) dua sifat penting
bilangan, yaitu elemen-elemen dua himpunan itu berpasangan dan pasangan itu tidak
terpengaruh oleh perubahan posisinya.
Hal tersebut menarik sekali
bila dibandingkan dengan sikap anak-anak berumur 3 1/2 tahun yang meletakkan
beberapa kereta-keretaan pada relnya sambil berkata ”satu untukku, satu untukmu
dan satu untuk ibu” . Anak ini walaupun tidak mampu membilang, secara mental
dia memasangkan dua himpunan, bagaimanapun juga posisi obyek-obyek tersebut
(ibunya ada di luar ruang itu). Jadi dari dua anak tersebut, manakah yang lebih
menguasai konsep bilangan?
Mengunpulkan
obyek-obyek menjadi himpunan-himpunan pada sifat dasar (semua obyek merah,
semua obyek yang berwarna biru, ..., atau semua obyek adalah mobil-mobilan,
semua obyek adalah orang, . . . ) merupakan salah satu aktivitas yang belum
berhubungan dengan matematika. Sedangkan mengurutkan (dengan bermacam-macam
kriteria) merupakan perbandingan lain terhadap dua himpunan untuk mengetahui
apakah kedua himpunan tersebut cocok atau tidak, hal yang terakhir ini
merupakan aktivitas matematika.
Idealnya,
anak-anak lebih baik mempunyai banyak pengalaman tentang hal tersebut sebelum
mereka belajar membilang. Membilang merupakan bagian terbanyak dari kehidupan
mereka sehingga umumnya anak-anak belajar mengucapkan nama-nama bilangan
setelah mereka belajar berbicara.
Anak-anak meniru dari orang
dewasa dan anak-anak lainnya tentang banyak kata dan frase yang artinya dapat
mereka ketahui setelah itu. Tidak menjadi masalah jika anak-anak belajar
membilang sebelum mereke memiliki konsep bilangan yang namanya mereka ucapkan.
Hal ini menyatakan bahwa konsep bilangan
itu dipelajari dan diberikan kemudian. Bahayanya adalah peralihan ke bentuk
tulisan mungkin didasarkan pada membilang tanpa kontribusi konsep yang sangat
penting. Dalam hal ini matematika untuk seorang anak harus dimulai dari dasar-dasar
yang paling mudah.
Dengan
memberikan kesempatan-kesempatan yang sesuai maka membilang dapat memberikan
formasi konsep-konsep bilangan dalam dua cara. Pertama, pemberian warna dapat
membantu dalam proses pembentukan konsep baru. Membilang dan menghitung kembali
obyek-obyek setelah beberapa penyusunan ulang menyebabkan adanya kecurigaan adanya
beberapa sifat yang terus ada melalui perubahan-perubahan ini.
Membilang
merupakan suatu proses pemasangan dan cara yang baik untuk menguji pasangan dua
himpunan. ”Apakah kita mempunyai sebuah cangkir untuk setiap orang?” Jawabannya
sangat cepat ditemukan dengan cara membilang/ menghitung cangkir-cangkir dan
orang-orang yaitu menggunakan sifat transitif dari korespondensi satu-satu.
Cara yang paling baik untuk
memberikan banyak pengalaman kepada anak-anak yang mengarah pada konsep yang
relevan, secara berangsur-angsur akan terbentuk dan secara berangsur-angsur
pula menyambung menjadi sebuah skema. Perkembangan yang terlalu kaku tampaknya
tidak penting, tetapi yang paling penting adalah keseringan pebentukan konsep,
aktivitas eksperimental, dan aktivltas penggunaan, tentu saja harus dilakukan
sebelum mengerjakan tes.
RANGKUMAN
Pada bab ini sebagaian besar ide sehari-hari telah
digunakan diuji dan dibentuk konsep-konsep dasar dalam matematika. Berikut ini merupakan
ide-ide utama yang perlu diingat.
Himpunan
adalah kumpulan
obyek-obyek yang didefinisikan (ditetapkan) dengan tepat yang dapat berupa
obyek-obyek fisik maupun ide-ide.
Elemen yaitu salah satu obyek yang termasuk
dalam suatu himpunan.
Sifat
karakteristik suatu himpunan adalah suatu sifat obyek yang termasuk dalam suatu himpunan, jika dan
hanya jika obyek itu mempunyai sifat karakteristik dari himpunan tersebut.
Korespondensi
satu-satu : dua himpunan dikatakan
berkorespondensi satu-situ jika dan hanya jika masing-masing elemen dari suatu
himpunan dipasangkan dengan satu dan
hanya satu elemen dari himpunan yang lainnya.
Suatu
bilangan merupakan sifat
karakteristik suatu himpunan dan himpunan-himpunan yang berpasangan.
Himpunan
standar adalah himpunan
contoh dari himpunan-himpunan yang cocok digunakan untuk perbandingan dengan
suatu himpunan lain untuk mengetahui apakah suatu himpunan itu tergolong pada
himpunan contoh dari himpunan-himpunan yang cocok tersebut atau tidak.
Membilang adalah suatu cara untuk menemukan bilangan
dua himpunan dengan cara menggunakan nama-nama bilangan yang berurutan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar