MAKALAH: Menyusun model matematika dalam memecahkan masalah verbal pada pembelajaran aljabar di kelas vii

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi menurut Johnson dan Rising. Aljabar digunakan untuk memecahkan masalah sehari-hari. Dengan bahasa simbol, dari relasi-relasi yang muncul, masalah-masalah dipecahkan secara sederhana. Bahkan untuk hal-hal tertentu ada algoritma-algoritma yang mudah diikuti dalam rangka memecahkan masalah simbolik itu, yang pada saatnya nanti dikembalikan kepada masalah sehari-hari. Jadi belajar aljabar bukan semata-mata belajar tentang simbol atau keabstrakannya, melainkan belajar tentang masalah sehari-hari (dalam Krismanto, 2009).

Kenyataan menunjukkan, bahwa salah satu kesulitan yang banyak dialami siswa dalam pembelajaran matematika adalah menyelesaikan soal cerita. Soal semacam ini memuat kalimat sehari-hari yang perlu diolah lebih dahulu untuk memecahkan masalahnya. Di lain pihak, siswa banyak mengandalkan rumus. Rumus-rumus oleh banyak siswa dianggap paling penting dalam matematika. Dianggap demikian karena terpengaruh oleh sebagian besar buku mata pelajaran matematika berisi uraian, contoh, dan soal-soal tentang penggunaan prosedur maupun rumus-rumus matematika. Sering terjadi, begitu ada soal, siswa mencari rumus lebih dahulu. Sering tidak disadari bahwa rumus tidak memiliki arti dalam kehidupan sehari-hari tanpa tahu makna rumus itu, dan dalam konteks mana rumus itu digunakan. Hafal rumus tidak ada artinya jika soal cerita belum diubah menjadi suatu kalimat matematika yang secara langsung terkait dengan rumus maupun prosedur penyelesaian suatu masalah.

Kompetensi siswa dalam memahami, kemudian menyusun bentuk aljabar dan selanjutnya merelasikan bentuk aljabar yang tersusun menjadi kalimat atau model matematika, merupakan prasyarat siswa untuk mampu atau kompeten dalam menyelesaikan masalah verbal baik yang menyangkut persamaan, pertidaksamaan, fungsi, maupun pengembangannya. Kemampuan dasar ini perlu mendapatkan perhatian atau penanganan sebelum masuk ke persamaan, pertidaksamaan, dan ke fungsi dalam aljabar. Kemampuan dasar itu dapat digali dari pengalaman belajar siswa.

Pengubahan dari soal cerita atau masalah verbal ke kalimat terbuka inilah yang kiranya menjadi salah satu kesulitan siswa. Kesulitannya tidak hanya dalam masalah kebahasaan yang menyangkut interpretasi suatu kalimat, namun juga kesulitan dalam penuangannya ke dalam bentuk simbol yang memiliki makna terkait dengan suatu masalah.

Pengubahan ke simbol dan rangkaian simbol yang diantaranya merupakan bentuk aljabar, sebagai suatu ungkapan matematis dari suatu pernyataan keseharian, dan sebaliknya dari ungkapan matematis ke bahasa sehari-hari kurang dikuasai siswa karena latihan transformasi dari bentuk satu ke bentuk lain tersebut kurang. Bahkan, banyak buku penunjang yang digunakan di sekolah tidak memuat latihan dasar tentang hal ini. Di samping itu, penguasaan bentuk aljabar kurang memperoleh porsi cukup. Booth (dalam Krismanto, 2009) mendapatkan kenyataan bahwa kesulitan tersebut dapat berakar dari cara pandang siswa terhadap variabel berupa huruf dalam aljabar. Banyak siswa masih ”rancu” dengan menganggap huruf yang merepresentasikan bilangan dipandang sebagai huruf yang merepresentasikan objek atau benda, di samping sering memandang huruf sebagai representasi satu macam bilangan.

Tidak semua kesulitan tersebut akan dibahas dan diberikan pemecahannya di sini, kecuali yang sesuai dengan bahasan yang menjadi topik tulisan ini. Salah satu yang perlu dilakukan oleh siapapun yang akan memecahkan masalah verbal adalah membaca masalah itu dengan cermat (jika perlu soal dibaca tidak hanya sekali saja), memahami masalahnya (tahu apa yang ditanyakan), dan dapat memahami data yang sudah tersedia. Dalam makalah ini, akan dibahas tentang langkah-langkah menyusun model matematika dalam memecahkan masalah verbal serta pembelajarannya.

B.     Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka masalah yang diangkat dalam makalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut, bagaimana menyusun model matematika dalam memecahkan masalah verbal pada pembelajaran aljabar di kelas VII SMP ?

C.    Batasan Istilah

Untuk menghindari adanya kesalahpahaman pengertian atau persepsi terhadap istilah yang akan digunakan, maka penulis memberikan batasan istilah yang terdapat dalam makalah ini, yaitu :

1.      Model matematika adalah suatu replika atau tiruan dengan mendeskripsikan suatu peristiwa/ fenomena alam dengan satu set rumusan, yang dapat berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi.

2.      Masalah verbal adalah suatu permasalahan/peristiwa yang terjadi dalam kehidupan  sehari-hari siswa.

3.      Pembelajaran aljabar di kelas VII yang dimaksud adalah persamaan dan pertidaksamaan linear, yang terdiri dari kalimat terbuka, variabel, koefisien, dan konstanta.

4.      Variabel (peubah) adalah sebuah lambang/simbol atau gabungan simbol yang mewakili  sebarang anggota pada suatu himpunan semesta.

5.      Konstanta adalah sebuah lambang/simbol untuk menyatakan objek yang sama dalam keseluruhan operasi matematika.

6.      Koefisien adalah bagian konstanta dari suku-suku yang memuat (menyatakan banyaknya) variabel disebut koefisien variabel yang bersangkutan.

7.      Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya

8.      Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “sama dengan” (lambang: “=”).

9.      Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda relasi <, >, ≤, ≥ atau ≠.  Dalam masalah aljabar, biasanya pertidaksaman terkait dengan empat lambang pertama.

10.  Akar palsu adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka, dimana akar tersebut tidak memenuhi ketika penyelesaian dalam suatu masalah verbal. 

11.  Relasi fungsional atau sering juga disebut pemetaan (mapping) didefinisikan sebagai berikut: Definisi: suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.

 

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Kajian Teori

1)      Model Matematika

Dalam matematika, Teori Model adalah ilmu yang menyajikan konsep-konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu tentang model-model yang mendukung suatu sistem matematis. Teori Model diawali dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya keberadaan semua bilangan) dan kemudian mencari dan menganilisis keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi atau aksioma-aksioma yang melekat pada masing-masing obyek atau pada kumpulan obyek-obyek tersebut. (www. wikipedia.com, 2008)

Model matematika adalah  suatu rumusan (dapat berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang diperoleh dari suatu penafsiran ketika menerjemahkan suatu soal verbal. Mengubah persoalan verbal ke dalam bentuk model matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah dimengerti (Ja’far, Kang. 2009).

2)      Masalah Verbal

Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah hanya jika seseorang tidak mempunyai aturan/hukum tertentu yang segera dapat dipergunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut. Pertanyaan itu dapat juga terselinap dalam suatu situasi dan sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari,  sedemikian hingga situasi itu sendiri perlu mendapat penyelesaian (Saedi, Muhammad, dkk. 2009).

Syarat suatu masalah bagi seorang siswa adalah sebagai berikut:

1.      Pertanyaan yang dihadapkan kepada seorang siswa haruslah dapat dimengerti oleh siswa tersebut, namun pertanyaan itu harus merupakan tantangan baginya untuk menjawabnya.

2.      Pertanyaan tersebut tidak dapat dijawab dengan prosedur rutin yang telah diketahui siswa. Karena itu, faktor waktu untuk menyelesaikan masalah janganlah dipandang sebagai hal yang esensial.

Dalam pengajaran matematika, pertanyaan yang dihadapkan kepada siswa biasanya disebut soal. Dengan demikian, soal-soal matematika akan dibedakan menjadi dua bagian berikut (Saedi, Muhammad, dkk. 2009):

1.      Latihan yang diberikan pada waktu belajar matematika adalah bersifat berlatih agar terampil atau sebagai aplikasi dari pengertian yang baru saja diajarkan.

2.      Masalah tidak seperti halnya latihan tadi, menghendaki siswa untuk menggunakan sintesis atau analisis. Untuk menyelesaikan suatu masalah, siswa tersebut harus menguasai hal-hal yang telah dipelajari sebelumnya yaitu mengenai pengetahuan, keterampilan dan pemahaman, tetapi dalam hal ini ia menggunakannya pada suatu situasi baru.

3)      Pembelajaran Aljabar Kelas VII SMP

Simbol-simbol, baik berupa angka maupun huruf dapat digunakan untuk melambangkan bilangan. Pada bilangan, dapat dikenakan operasi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, maupun penarikan akar. Oleh karena itu, lambang operasi hitung dapat dikenakan pada konstanta maupun variabel.

Semua angka dan semua huruf atau gabungannya menyatakan suatu ekspresi (ungkapan). Demikian juga penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dari dua ekspresi, serta pemangkatan dan penarikan akar dari sebuah, dua, atau lebih ekspresi merupakan ekspresi pula. Pembagian dengan 0 (nol) dan penarikan akar berderajat genap dari bilangan negatif, dikecualikan dari hal di atas. Dalam bahasa aljabar, ekspresi juga dikenal sebagai bentuk aljabar (algebraic expression)( Krismanto, 2009).

a.       Operasi Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Bentuk aljabar dapat dioperasikan. Seperti halnya bilangan, terhadap bentuk aljabar dapat dilakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, maupun penarikan akar pangkat dan perpangkatan. Untuk tingkat SMP, dua terakhir tidak banyak dibahas, kecuali perpangkatan dengan pangkat bentuk aljabar berderajat 0 (yaitu konstanta). Dengan penjumlahan muncul suku-suku dan dengan perkalian muncul pengertian faktor yang merupakan unsur dari perkalian tersebut. Bentuk seperti (x+5) disebut bentuk aljabar.

b.      Suku sejenis dan suku tak sejenis

Komponen dalam bentuk aljabar adalah suku (term). Suku dapat berupa sebuah konstanta, sebuah variabel, atau hasil kali/pangkat, penarikan akar konstanta maupun variabel, tetapi bukan penjumlahannya. Jadi, masing-masing suku merupakan bentuk aljabar yang lebih sederhana dari bentuk aljabar yang lebih kompleks. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, y dan 4y. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x², –y dan –x³, 5x dan –2y (Nuharini, 2008).

c.       Kalimat Terbuka

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variabel, dan jika variabelnya diganti dengan konstanta akan menjadi sebuah pernyataan (yang bernilai benar saja atau salah saja). Kebenaran pernyataan tersebut dinilai dari kebenaran relasi yang dinyatakan dalam kalimatnya. Kalimat terbuka yang dimaksud adalah persamaan dan pertidaksamaan, dan pada tulisan ini pun hanya dibatasi pada persamaan dan pertidaksamaan linear. Dua kalimat terbuka dikatakan ekuivalen jika untuk domain yang sama keduanya memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

d.      Persamaan

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “sama dengan” (lambang: “=”). Persamaan dapat dinyatakan pula sebagai dua bentuk aljabar yang dihubungkan dengan tanda “=”.Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0.

3) Penyelesaian Kalimat Terbuka

Penyelesaian kalimat terbuka dengan satu variabel adalah konstanta (atau konstanta-konstanta) anggota daerah definisinya, yang jika digantikan (disubstitusikan) pada variabel dalam kalimat itu, kalimat terbuka semula menjadi pernyataan yang bernilai benar. Penyelesaian persamaan disebut juga akar persamaan. Dikatakan pula bahwa penyelesaian itu memenuhi kalimat terbuka tersebut. Jika kalimat terbukanya memuat dua, tiga, empat, … , n variabel, maka penyelesaiannya merupakan pasangan, tripel, kuadrupel, … , n tupel dengan sifat bahwa dengan substitusi urutan variabel dengan urutan bilangan atau konstanta pengganti pada n-tupelnya, kalimat terbuka itu menjadi pernyataan bernilai benar. Pada pertidaksamaan, selain berupa bilangan tunggal, penyelesaiannya dapat berupa sejumlah bilangan dalam interval tertentu.

B.     Menyelesaikan Masalah Verbal dengan Menggunakan Strategi Langkah Polya

Berbicara pemecahan masalah, kita tidak bisa terlepas dari tokoh utamanya yaitu Polya.  Menurut polya dalam pemecahan masalah.  Ada empat langkah yang harus dilakukan. Keempat tahapan ini lebih dikenal dengan See (memahami problem), Plan (menyusun rencana), Do (melaksanakan rencana) dan Check (menguji jawaban), sudah menjadi jargon sehari-hari dalam penyelesaian problem sehingga Polya layak disebut dengan “Bapak problem solving.”

Adapun keempat langkah di atas dapat dijelaskan sebagai berikut (Sayekti, 2007):

1). Memahami masalah/soal cerita.

Pada langkah ini, siswa harus dapat menentukan dengan jeli apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan. Siswa dituntut membaca soal dengan seksama sehingga dapat memahami maksud soal, apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dengan menggunakan notasi-notasi yang diperlukan. Mengingat kemampuan otak bagi manusia itu sangatlah terbatas, maka hal-hal penting hendaknya dicatat, dibuat tabelnya, ataupun dibuat sket atau grafiknya. Hal tersebut dimaksudkan untuk mempermudah memahami masalahnya dan mempermudah mendapatkan gambaran umum penyelesaiaannya.

2). Menyusun Rencana.

Setelah dipahami maksud soal, selanjutnya siswa menyusun rencana penyelesaian masalah dengan mempertimbangkan berbagi hal misalnya:

a. Diagram, tabel, gambar atau data lainnya dalam soal.

b.Korelasi antara keterangan yang ada dalam soal dengan unsur yang ditanyakan.

c. Prosedur rutin/rumus-rumus yang dapat digunakan.

d. Kemungkinan cara lain yang dapat digunakan.

3) Melaksanakan rencana.

Rencana yang telah tersusun dalam bentuk kalimat matematika atau rumus-rumus selanjutnya dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah verbal sehingga dihasilkan penyelesaian yang diinginkan.

 4). Memeriksa kembali hasil yang diperoleh.

Dari hasil yang telah diperoleh, siswa masih dituntut memeriksa kembali dengan cara mensubstitusikan hasil tersebut ke dalam soal semula sehingga dapat diketahui kebenarannya. Beberapa pertanyaan yang muncul dalam langkah ini adalah:

a. Apakah jawaban yang diperoleh sudah benar?

b. Adakah cara untuk memeriksa jawaban?

c. Apakah ada cara lain yang mungkin dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah/soal cerita tersebut?

C.    Penyelesaian Masalah Verbal menurut Arya-Lardner dan Auviel-Poluga

Berdasarkan strategi model George Polya yang digunakan untuk  pemecahan masalah (soal cerita), maka Arya-Lardner dan Auviel-Poluga (dalam Krismanto, 2009) menyarankan langkah-langkah dasar menyelesaikan masalah verbal sebagai berikut:

1. Pilihlah sebuah variabel!

a.       Variabel ini biasanya adalah bilangan yang menyatakan sesuatu yang ditanyakan, atau dapat juga yang terkait langsung atau tidak langsung dengan yang ditanyakan. Misalnya jika yang ditanyakan kecepatan, maka yang dimisalkan dapat dipilih jarak yang ditempuh, dapat pula waktu yang diperlukan.

b.      Jika masalahnya menyangkut selain bentuk aljabar (sebagai alat perhitungan) juga terutama menyangkut geometri, maka gambar atau diagram yang sesuai diperlukan dalam memilih atau menentukan variabel.

c.       Jika permasalahannya menyangkut lebih dari satu hal yang masing-masing memerlukan adanya variabel, maka dipilih variabel kedua.

2. Susunlah bentuk-bentuk aljabar!

a.       Jika perlu, dan pada awal penentuan variabel belum ada gambar/diagram, dahuluilah membentuk suatu diagram situasi!

b.      Nyatakan setiap bilangan yang ada dalam masalah verbal itu dengan variabel terpilih, atau jika tidak, tuliskan bilangan itu sebagai konstanta! Susunlah dalam suatu bentuk aljabar!

3. Susunlah model matematikanya!

a.       Nyatakan relasi antara bilangan-bilangan dan variabel dalam bentuk aljabarnya yang telah diperoleh sehingga tersusun model matematika yang berbentuk kalimat terbuka.

b.      Relasinya mungkin membentuk suatu kalimat terbuka. Kalimat terbukanya mungkin persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan, atau system pertidaksamaan. Selain itu, relasi yang terbentuk dapat merupakan relasi fungsional (sebuah fungsi).

4. Selesaikan kalimat terbuka atau model matematikanya!

Prosedur penyelesaiannya sesuai prosedur atau algoritma jenis kalimat terbuka atau fungsinya.

5. Nyatakan jawaban sesuai yang ditanyakan pada masalah itu!

6. Periksa kebenaran jawaban dengan “mengembalikannya” ke persoalan awal!

Pemeriksaan juga menyangkut validitas jawaban sesuai konteks dan menyingkirkan kemungkinan adanya “akar palsu”.

D.    Pemecahan Masalah Verbal (soal cerita) Depdikbud

Menurut tim matematika Depdikbud 1983 (dalam Sayekti, 2007), setiap masalah verbal (soal cerita) dapat diselesaikan dengan rencana sebagai berikut:

a.       Membaca dan memahami soal, kemudian memikirkan hubungan antar faktor-faktor yang ada dalam soal tersebut.

b.      Menulis kalimat matematika yang menyatakan hubungan-hubungan itu dalam bentuk operasi-operasi bilangan.

c.       Menyelesaikan kalimat matematika tersebut.

d.      Menggunakan penyelesaian tersebut untuk menjawab pertanyaan yang ada dalam soal

E.     Langkah Menyelesaikan Masalah Verbal

Berdasarkan strategi pemecahan masalah Model Polya dan langkah-langkah penyelesaian masalah yang disajikan oleh Arya dan Lardner, untuk menyusun model matematika  serta pemecahan masalahnya , langkah-langkah yang sistematis diperlukan, agar model yang diinginkan dapat tersusun. Begitu pula implikasikasinya pada strategi pembelajaran agar siswa mampu menyusun model matematika dengan lancar dan dapat dijadikan sebagai strategi pembelajaran model matematika. Maka kami  menyarankan langkah-langkah menyelesaikan masalah verbal sebagai berikut:

1.      Langkah 1 : Memahami masalah

Salah satu yang perlu dilakukan oleh siapapun yang akan memecahkan masalah verbal adalah membaca masalah itu dengan cermat (jika perlu soal dibaca tidak hanya sekali saja), memahami masalahnya (tahu apa yang ditanyakan), dan dapat memahami data yang sudah tersedia (apa yang diketahui. Untuk murid yang berada pada tingkat SMP, dalam menyelesaikan masalah verbal. Seorang siswa dikatakakan memahami suatu masalah berarti ia mengetahui apa yang diketahui, apa yang tidak diketahui, apa yang ditanyakan, apa yang merupakan datanya dan apa yang merupakan kondisi dari suatu masalah tersebut.

2.      Langkah 2: Merencanakan Penyelesaian

§      Memilih variabel

Variabel yang dipilih  biasanya adalah bilangan yang  menyatakan sesuatu yang ditanyakan, atau dapat juga yang terkait langsung atau tidak langsung dengan yang ditanyakan. Jika permasalahannya menyangkut lebih dari satu hal yang masing-masing memerlukan adanya variabel, maka dipilih variabel kedua.  Dan, jika masalahnya menyangkut selain bentuk aljabar (sebagai alat perhitungan) juga terutama menyangkut geometri, maka gambar atau diagram yang sesuai diperlukan dalam memilih atau menentukan variabel. Gambar atau diagram yang dibuat tidak perlu sempurna, terlalu bagus atau terlalu aktual, yang penting bagian-bagian terpenting dari gambar itu dapat memperjelas masalah.

§      Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram situasi untuk memudahkan dalam menyusun bentuk aljabarnya, diagram situasinya sesuai dengan masalah verbal yang ada, setiap bilangan  yang ada dalam masalah verbal, dinyatakan dalam variabel terpilih atau menyatakan bilangan tersebut dengan konstanta.

§      Menyusun model matematika

Menyatakan hubungan  antara apa yang diketahui dengan apa yang ditanyakan. Menyatakan hubungan antara bilangan-bilangan dan variabel dalam bentuk aljabarnya yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya sehingga tersusun model matematikanya yang berbentuk kalimat terbuka (persamaan, pertidaksamaan, SPLSV, dan SPtLSV) atau relasi fungsional.

3.      Langkah 3: Menyelesaikan masalah sesuai rencana

§      Meyelesaikan kalimat terbuka (model matematika)

Prosedur  atau langkah penyelesaiannya sesuai dengan jenis kalimat terbukanya  atau fungsinya.

§      Menyatakan jawaban sesuai yang ditanyakan pada masalah verbal tersebut.

4.      Langkah 4: Melakukan pengecekan

Mengecek kebenaran jawaban dengan mengembalikan (mensubtitusi) ke persoalan awal sehingga dapat diketahui kebenarannya, Pemeriksaan ini juga menyangkut validitas jawaban sesuai konteks dan menghindari kemungkinan adanya akar palsu.

 

F.     Menyusun Model dan Menyelesaikan Masalah

Setelah memahami langkah-langkah dasar dalam memahami masalah, maka barulah penyusunan model dan penyelesaiannya dapat dilakukan.

Contoh 1

Empat tahun yang lalu umur seorang bapak 5 kali umur anak pertamanya. Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama tersebut. Berapa tahun lagi umur bapak tersebut setengah abad?

Penyelesaian:

Cara I

Langkah 1: Memahami masalah (soal)

Diketahui:

·         Empat tahun yang lalu umur seorang bapak 5 kali umur anak pertamanya.

·         Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama tersebut

Ditanyakan:

·         Berapa tahun lagi umur bapak tersebut setengah abad?

Langkah 2: Merencanakan penyelesaian

§      Memilih variabel

Misalkan umur anak sekarang a tahun dan umur bapaknya b tahun.

§      Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram/sketsa situasi berdasar umur sekarang.

	4 tahun yang lalu	Sekarang	3 tahun mendatang
Anak		A
Bapak		B

Setelah dilengkapi dengan menggunakan 4 tahun yang lalu dan 3 tahun yang akan datang, diagramnya yang memuat bentuk aljabar adalah sebagai berikut (urutan pengisian sesuai arah anak panah).

	4 tahun yang lalu	Sekarang	3 tahun mendatang
Anak	a - 4	ß a à	a + 3
Bapak	b - 4	ß b à	b + 3

§      Menyusun model matematika

Dalam hal ini mencari hubungan (relasi) antara bentuk aljabar. Empat tahun yang lalu umur bapak 5 kali umur anak pertamanya

b – 4 = 5(a – 4)           ..…….(1)

Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama

b + 3 = 3(a + 3)         ……… (2)

Bentuk model matematika yaitu berupa suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel

            b – 4 = 5(a – 4) ……………. (1)

            b + 3 =3(a + 3)……………. (2)

Langkah 3: Menyelesaikan masalah sesuai rencana

§      Menyelesaikan kalimat terbuka atau model matematikanya

b – 4 = 5a – 20

b + 3 = 3a + 9___     -

   – 7 = 2a – 29  ó  2a = 22  ó  a = 11

a = 11 disubstitusikan pada (2) diperoleh b + 3 = 3 × 14 ó b = 39.

Karena siswa Kelas VII belum mengenal teknik penyelesaian system persamaan dengan dua variabel, maka konsep “substitusi” dapat dingatkan kembali dan digunakan sebagai salah satu strategi penyelesaiannya

b – 4 = 5a – 20 ó b = 5a − 16 …... (*)

disubstitusikan ke (2) menjadi

(2): b + 3 = 3a + 9 Û 5a − 16 + 3 = 3a + 9

ó  2a = 22 ó a = 11

    Dari persamaan (*) diperoleh b = 5 × 11 − 16 = 39

Situasi sebenarnya adalah:

	4 tahun yang lalu	Sekarang	3 tahun mendatang
Anak	a – 4 = 11 – 4 = 7	a = 11	a + 3 = 11 + 3 =14
Bapak	b – 4 = 39 – 4 = 35	b = 39	b + 3 = 39 + 3 = 42

§      Menyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu. Umur bapak itu sekarang 39 tahun. Jadi, umur bapak itu setengah abad 11 tahun mendatang.

Langkah 4: Melakukan pengecekan

Pemeriksaan:

4 tahun yang lalu umur ayah 35 tahun, sedangkan anaknya anak 7 tahun. Pernyataan umur ayah 5 kali umur anak bernilai benar. 3 tahun lagi umur ayah 42 tahun, seadangkan anaknya 14 tahun. Pernyataan umur ayah 3 kali umur anak bernilai benar.

Contoh 2

Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp 5.000,00 dan si Sulung menerima uang paling banyak, berapakah yang diterima si Bungsu?

Penyelesaian:

Soal tersebut dapat diselesaikan dengan mengacu pada barisan dan deret. Namun,soal itu dapat diselesaikan tanpa rumus-rumus pada barisan dan deret, yaitu dengan menggunakan 6 langkah seperti dikemukakan di atas.

Langkah 1: Memahami masalah (soal)

Diketahui:

·         Uang ayah Rp. 100.000 di bagikan kepada 4 anaknya

·         Selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp 5.000,00

·         Sisulung menerima uang yang paling banyak

Ditanyakan:

Berapa yang diterima si Bungsu?

Langkah 2: Merencanakan penyelesaian

§      Memilih variabel

Misalkan si Bungsu menerima b rupiah.

§      Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram/sketsa situasi

Setelah dilengkapi (setiap kali bertambah Rp 5.000,00), diagram yang memuat

bentuk aljabar adalah sebagai berikut:

§      Menyusun model matematika

Mencari hubungan (relasi) antar bentuk aljabar

b + (b + 5000) + (b + 10000) + (b + 15000) = 100000

Langkah 3: Menyelesaikan masalah sesuai rencana

§      Menyelesaikan kalimat terbukanya

b + (b + 5000) + (b + 10000) + (b + 15000) = 100000

↔ 4b + 30000 = 100000

↔ 4b = 70000

↔ b = 17500

§      Menyatakan jawaban sesuai yang ditanyakan pada masalah itu. Si Bungsu menerima Rp 17.500,00

Langkah 4: Melakukan pengecekan

Pemeriksaan:

b + (b + 5000) + (b + 10000) + (b + 15000)

= 17500 + (17500 + 5000) + (17500 + 10000) + (17500 + 15000)

= 100000.

G.    Pemecahan Masalah Verbal oleh Siswa SMP

Contoh 1 dalam makalah ini juga diberikan kepada beberapa siswa SMP, di mana mereka telah mempelajari materi ini sebelumnya (terlampir).  Dan jika membandingkan hasil pemecahan masalah oleh siswa dengan langkah penyelesaian yang disajikan di atas, ada beberapa langkah yang tidak terlihat dari proses pemecahan mereka. Di mana, tidak adanya langkah 1, yaitu memahami masalah (soal),  pada umumnya siswa langsung pada langkah 2 yaitu memilih variabel dan membentuk model matematikanya tanpa terlebih dahulu menunjukkan pemahaman  mereka terhadap masalah yang disajikan, tidak menyatakan apa yang diketahui pada soal dan apa yang ditanyakan. Tidak adanya diagram situasi yang menggambarkan situasi masalah yang disajikan, yang berguna untuk memudahkan dalam menyusun bentuk aljabarnya, untuk menuju ke penyelesaian model matematikanya.  Selain itu langkah terakhir pada penyelesaian masalah yang disajikan dalam makalah ini, yaitu melakukan pengecekan, tidak ada pada proses penyelesaian oleh siswa tidak.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

1.      Menyelesaikan masalah verbal dengan menggunakan langkah Polya  :

a. Memahami masalah verbal.

b. Menyusun rencana untuk menyelesaikan masalah verbal.

c. Melaksanakan rencana untuk menyelesaikan masalah verbal.

d. Memeriksa kembali/merefleksi hasil yang diperoleh.

2.      Langkah penyelesaian masalah verbal menurut Arya-Lardner dan Auviel-Poluga:

1.      Memilih sebuah variable

2.      Menyusun bentuk-bentuk aljabar

3.      Menyusun model matematikanya

4.      Menyelesaikann kalimat terbuka atau model matematikanya

5.      Menyatakan jawaban sesuai dengan yang ditanyakan pada masalah

6.      Memeriksa kebenaran jawaban dengan “mengembalikan” kepersoalan awal.

3.      Berdasarkan pembahasan di atas bahwa langkah menyusun model matematika dalam memecahkan masalah verbal dan kalimat sehari-hari ke model matematika adalah:

ü  Langkah 1: memahami masalah

ü  Langkah 2: menyusun rencana

1.      Memilih variabel

2.      Menyusun bentuk aljabar

3.      Menyusun model matematika

ü  Langkah 3: menyelesaikan masalah sesuai rencana

1.      Menyelesaikan kalimat terbuka (model matematikanya)

2.      Menyatakan jawaban sesuai dengan yang ditanyakan pada masalah

ü  Langkah 4:  melakukan pengecekan/ pemeriksaan kembali

B.     Saran

Langkah-langkah dalam menyusun dan menyelesaikan masalah verbal yang disajikan   pada pembahasan makalah ini, diharapkan dapat memudahkan siswa dalam menyelesaikan masalah verbal. Namun, hal tersebut hendaknya dipandang sebagai alternatif. Dengan demikian, dari gagasan yang tertuang tersebut dapat dikembangkan alternatif lain yang pada saatnya dapat digunakan untuk membantu guru dalam memecahkan masalah yang menjadi tanggung jawab profesinya.