psikologi matematika: Dua ide kunci selanjutnya

Sejauh ini ”bilangan” kita artikan hanya bilangan asli saja. kita akan memperluas ide dalam empat sistem bilangan lagi: bilangan pecahan, bilangan bulat, rasional, dan bilangan real. Dua ide kunci penting untuk memahami hal ini adalah ekuivalen dan model matematika. Namun pentingnya ide ini tidak mempermasalahkan sistem bilangan. Seperti ide sebuah himpunan yang fundamental (mendasar).

Ekuivalen

Ekuivalen adalah salah satu dari ide yang membantu membentuk menjembatani antara fungsi intelegensi dan matematika dalam kehidupan sehari-hari, dan ini berguna jika dimulai dengan contoh-contoh dalam kehidupan sehari-hari sebelum mendefinisikan secara matematis.

            Kata ”ekuivalen” menyatakan arti 'bernilai sama', yaitu, sama untuk tujuan tertentu, atau dalam cara khusus. Diberikan sebarang himpunan objek-objek, seringkali kita mengelompokkan himpunan tersebut ke himpunan bagian yang lain dalam beberapa cara. Contoh, {koin dalam saku saya} dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bagian koin yang memiliki nilai yang sama. {cat kaleng di sebuah toko} dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bagian dari warna yang sama. {Novel­-novel di perpustakaan setempat} dikelompokkan ke dalam himpunan bagian dari novel dengan pengarang yang sama. Metode pengelompokan tidak akan lengkap jika ada objek-objek dalam keluarga himpunan yang tidak termasuk pada salah satu dari himpunan bagian; dan suatu objek masuk ke dalam lebih dari satu himpunan bagian. Sehingga kita katakan bahwa setiap objek dalam keluarga himpunan yang baru harus termasuk kedalam satu dan hanya satu himpunan bagian. Himpunan bagian yang memenuhi persyaratan di atas dimakan partisi dari keluarga himpunan yang dinyatakan.

Pengelompokan unsur-unsur dari keluarga himpunan ke dalam himpunan bagian bisa dilakukan dengan dua cara. Kita dapat memulai dengan beberapa sifat karakteristik, dan membentuk himpunan bagian yang sesuai dengan karakteristik ini.

Contoh:

Himpunan                                           Karakteristik dari  himpunan bagian

{koin dalam saku saya}                      1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p

{cat kaleng}                                        Merah, biru, hijau, kuning...

{novel dalam perpustakaan}               H.G. Wells, C.S. Lewis, Neville Shute...

Memperlihatkan bahwa sifat karakteristik itu sendiri biasanya milik bersama, mereka membentuk suatu himpunan yang anggotanya mempunyai sifat karakeristik yang mudah diamati. Dalam contoh pertama, masing-masing sifat karakteristik adalah sebuah nilai uang; kedua, masing-masing adalah sebuah warna; ketiga; seorang pengarang. Contoh seperti ini biasanya lebih menarik, karena hal tersebut membentuk dasar dari ide-ide baru.

          Alternatif lain, kita dapat memulai dengan prosedur pemasangan khusus, dan pengelompokan himpunan dengan cara menempatkan semua objek-objek yang sesuai ke dalam himpunan bagian yang sama. Sebagai contoh, seorang peneliti dalam ilmu alam mungkin menyeleksi {kupu-kupu tangkapannya di suatu negara tertentu} dengan cara memasangkan spesies dengan warna dan pola sayap. Masing-masing himpunan bagian kupu-kupu dianggap sebagai spesies yang berbeda, dan memberinya nama yang berbeda. Metode ini sering digunakan saat menghadapi objek-objek baru.

Prosedur pemasangan jenis ini, sangat tepat dinamakan relasi ekuivalen. Ketepatan itu dapat dicapai dalam bidang matematika, tapi tidak begitu mudah dalam bidang fisika. Misalnya mengelompokkan potongan kayu berdasarkan panjangnya. Kita mengatakan bahwa kayu A dan B adalah sama panjang jika keduanya berbeda 5 mm; dan dengan cara yang sama dengan B dan C, C dan D, dan seterusnya. Tapi hal ini akan masih menjadi mungkin untuk kayu A dan J berbeda 45 mm. Sehingga pengelompokkan ”dengan penekanan panjang yang sama” tidak transitif. Dengan kata lain, pemasangan antara dua himpunan adalah ’korespondensi satu-satu dengan’  adalah tepat, dan oleh karena itu dapat dibuat relasi ekuivalen. Kembali ke contoh kayu di atas, jika kita mengukur panjang kayu ke 5 mm terdekat, dan memasangkan kayu tidak secara fisik tapi menurut ukuran, hal ini terlihat bahwa sifat transitif dipenuhi, dan sekarang kita memiliki relasi ekuivalen yang lain. Selain sifat transitif, relasi ekuivalen memiliki dua sifat se1anjutnya, untuk penyajian kali ini, tidak perlu dibahas. Untuk pembaca yang tertarik diberikan secara singkat dalam lampiran pada bab ini.

Pentingnya sifat transitif adalah bahwa ada dua elemen sebarang dari himpuan bagian yang sama dalam sebuah partisi dihubungkan oleh relasi ekuivalen. Dan hal ini benar, walaupun pengelompokkan dilakukan dengan metode pertama atau dengan metode kedua. Jika dengan metode kedua, mengikuti secara langsung dari sifat transitif. Jika dengan metode pertama, kita akan selalu menemukan sebuah relasi ekuivalen antara dua elemen dari himpunan bagian yang sama.

Karena dekatnya hubungan yang dimiliki relasi ekuivalen, himpunan bagian dalam partisi disebut kelas ekuivalen. Dengan demikian sebarang relasi ekuivalen dapat diaplikasikan ke semua elemen dari sebuah himpunan yang diberikan merupakan partisi himpunan ke dalam kelas-kelas ekuivalen. Dan sebarang partisi dari himpunan dapat digunakan untuk mendefinisikan relasi ekuivalen.

  

Prinsip yang dapat ditukarkan

Secara implisit relasi ekuivalen dapat dipertukarkan untuk tujuan khusus. Untuk membayar ongkos perjalanan, semua uang logam/koin dalam himpunan bagian bernilai 5p, dapat dipertukarkan. Untuk mewarnai sepatu dengan warna royal biru; maka seluruh kaleng cat royal biru dalam himpunan bagian kaleng cat royal biru dapat dipertukarkan. Seseorang yang meminta ’buku karangan H.G. Wens' di perpustakaan, tidak semua buku karangan H.G Wells yang diperlukan, tetapi hanya satu dari himpunan bagian yang dipilih. Ekuivalensi ini hanya berdasarkan pada sifat khusus dari sifat karakteristik kelas ekuivalen. Sehingga dalam kelas tersebut, jika kita menginginkan kita dapat memilih anggota tertentu, karena kelebihannya dalam beberapa hal berbeda. Di dalam suatu kelas ekuivalen koin yang bernilai sama, seorang kolektor bisa memilih sebuah koin karena keadaannya yang baru. Dalam hal pengecatan sepatu berwarna royal biru, ia akan memilih salah satu cat yang mempunyai ketahanan yang baik terhadap sinar matahari dan air garam. Pembaca dari H.G. Wells kemungkinan akan memilih sebuah buku belum ia dibaca.

Akibat selanjutnya dari prinsip dapat dipertukarkan ini adalah memberi kita suatu cara lain penamaan sebuah kelas ekuivalen. Cara pertama telah dibahas (didiskusikan) yaitu melalui sifat karakteristiknya (contohnya, 5p). Salah satu cara yang lebih konkrit adalah dengan menggunakan sebarang anggota sebagai wakil kelas (contoh sebuah coin). Hal ini kadang-kadang lebih cocok, tetapi selanjutnya kita harus memperjelas apakah kita menunjuk contoh itu sebagai kelas atau sebagai elemen itu sendiri. Tentu saja sebuah penggambaran tidak dengan dirinya sendiri, melainkan mendefinisikan suatu kelas, tetapi kita perlu mengetahui juga relasi ekuivalen yang digunakan (atau bukan saja relasi ekuivalen melalui dirinya sendiri mewakili sebuah kelas, tetapi kita juga perlu mengetahui keluarga himpunannya.) Sebagai contoh konkrit yang diberikan : buku H..G. Wells bisa ditunjukkan hanya sebagai dirinya sendiri, atau sebagai wakil dari novel yang mempunyai jilidan mewah sebagai wakil dari penerbitan khusus. Sehingga metode penamaan kelas melalui suatu contoh, akan lebih baik jika mempunyai kecocokan dengan konteks yang diperlukan. Dan menggunakannya sebagai artian yang tepat dari usaha ini.

Ekuivalen  dan Kesamaan

Dua objek dikatakan ekuivalen jika keduanya mempunyai kesamaan dalam beberapa hal khusus, bila tidak sesuai dengan konteks, harus dispesifikasikan. Dua objek dikatakan sama jika mempunyai, kesamaan dalam setiap hal. Hal ini dapat terjadi jika, didalam kenyataan kedua obyek itu sama. Karena suatu obyek hanya akan sama dengan dirinya sendiri, kita dapat menganggap pernyataan dari kesamaan menjadi trivial. Dibawah ini, beberapa kasus yang tidak terlalu penting.

,

Rolls Royce ini.= Roll Royce ini                         adalah trivial/mudah, tapi,

Rolls Royce ini = mobilku                                   bukan trivial

Suatu pernyataan kesamaan (untuk lebih singkat diisebut persamaan) menjelaskan bahwa kita menunjuk objek yang sama (yang mungkin objek fisik, atau suatu ide) dalam dua cara yang berbeda.

Perhatikan pernyataan :

             'lni Rolls Royce' = 'Mobilku'

            tidak dibenarkan, karena dengan adanya tanda petik berarti kita menunjuk pada kata itu sendiri, dan bukan pada obyek yang dimaksud. Sehingga :

             tiga = 3 adalah benar, tetapi

             'tiga'= '3' adalah salah.

Jika kita mendefinisikan suatu kelas ekuivalen dengan sifat karakteristik, yang seluruh anggotanya. adalah nama untuk bilangan yang sama, maka (gunakan tanda "" berarti ekuivalen dengan)

'tiga'  '3' adalah benar.

Jika dua objek ekuivalen maka sifat-sifat kelas adalah sama. Misalnya, jika buku The  War of the World dan The Time Machine adalah ekuivalen sesuai dengan definisi relasi sebelumnya, maka pengarangnya adalah sama. Jika dua koin adalah mempunyai nilai yang ekuivalen, maka nilai kedua koin itu adalah sama. Sehingga jika kadang-kadang kita menganggap objek-objek sebagai objek itu sendiri dan kadang-kadang sebagai wakil kelas ekuivalennya, dalam konteks pertama dapat dikatakan ekuivalen selama keduanya (tetapi benar-benar kelas mereka) adalah sama. Hal ini memang kelihatan membingungkan. Tetapi ide pertama dipahami, hal itu merupakan efek/pengaruh sebaliknya, karena hal tersebut membantu untuk membuat arti pernyataan terbalik yang membingungkan.

Tinjauan kedua pada bilangan asli

          Ide ini sangat umum diterapkan (diberlakukan), baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam matematika. Sebenarnya, ide atau ide ini telah kita gunakan ketika kita mengembangkan ide bilangan asli. Dalam hal ini diketahui, keluarga himpunan dari seluruh himpunan finit. Relasi ekuivalen merupakan korespondensi satu-satu dengan partisi dalam himpunan ini ke dalam kelas-kelas ekuivalen dan sifat-sifat karakteristik dari kelas-kelas ini adalah bilangan asli. Pada saat ide-ide diserap, nampak bahwa penjelasan kedua benar-benar menyatakan sesuatu yang penting. Jika ide-ide tersebut telah dipahami sepenuhnya, akan kelihatan bahwa keterangan tersebut merupakan sesuatu yang penting dan salah satu contoh yang baik dari penyederhanaan pola berpikir matematis.

Model-model Matematika.

            Andaikan kita merencanakan membuat sebuah dapur. Model matematika akan sangat banyak membantu untuk membuat skala perencanaan ruangan untuk menggambarkan variasi susunan perabot yang akan ditempatkan dalam ruangan tersebut. Kita telah mengabtrasikan objek-objek fisik berdasarkan kualiatas tertentu berdasarkan pertimbangan khusus, misalnya ukuran, bentuk dan fungsinya. Beberapa kualitas yang diabstraksikan dalam bentuk model di atas kertas. Selanjutnya, jika kita menentukan suatu susunan model di mana semua hal akan cocok dalam ruangan tertentu, kita tahu bahwa korespondensi objek-objek yang pertama - alat masak - kulkas dan seterusnya, akan cocok dengan ruangan dalam dapur tersebut. lni adalah sebuah model kerja.

Model dapur kita adalah sebuah model fisik, yang dibuat untuk tujuan tertentu. Sistem bilangan asli adalah suatu model mental secara luas. Tetapi masih menggunakan metode dasar yang sama, dalam hal keabstrakan, manipulasi abstraksi yang meliputi manipulasi objek-objek fisik dan kemudian mewujudkan kembali hasilnya dalam situasi abstrak. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengerjakan berdasarkan kebiasaan. Misalnya kita mengharapkan kunjungan dari teman-teman. Kami ada empat, dan mereka terdiri dari dua orang dewasa dan tiga anak-anak. Langkah abstraksi pertama adalah seperti yang dinyatakan di atas, yaitu menggunakan konsep awal. Untuk suatu tujuan tertentu, katakanlah menata meja, kita tidak tertarik pada umur, jenis kelamin, atau apakah tuan rumah atau tamu. Jadi kita mengabstrakan lebih lanjut: 4, 2, 3. Dalam situasi umum jamuan minum teh bersama-sama, kita mengkonsentrasikan pada aspek penggabungan, dan menyajikannya dengan operasi penjumlahan matematika: 4 + 2 + 3. Hasilnya: 9. Pertama perwujudan ulang, akan terdapat 9 orang. Pada tingkat abstraksi ini kita memasangkan himpunan orang dengan himpunan tempat; dan kemudian secara fisik, kita menata 9 piring di atas meja.

Kemampuan berpikir ini kita peroleh dari warisan, tapi tidak dikembangkan di beberapa masyarakat primitive. Misalnya hubungan seorang pelancong yang telah menyetujui harga dua domba dibeli pada harga tersebut, tetapi penjual tidak akan menerima dua kumpulan barang dengan menukarnya dengan domba. Domba pertama ditukar dengan barang yang ditentukan, dan kemudian prosedurnya diulangi. Walaupun penjual telah memiliki konsep bilangan, ia tidak dapat membentuk dan memanipulasi model matematika yang sederhana yang cocok pada situasi itu. Mengandalkan skala manapun jelas tergantung pada kemampuan ini (kemampuan membuat model matematika) transaksi secara individu boleh dilakukan seperti di atas, tetapi, mengatur perniagaan memerlukan patokan harga dan manipulasi dari pengembangan model (berbeda dari formasi ini). Akan sangat terbantu oleh notasi Hindu Arabic yang telah diperkenalkan sebelumnya.

Pengukuan

Salah satu hal yang lebih menyolok mengenai sistem bilangan asli adalah variasi yang luas dalam memberikan suatu model. Hal ini disebabkan karena banyaknya suatu himpunan tidak bergantung pada obyek dalam himpunan itu dari mana obyek itu. Jadi banyak obyek yang sama dapat digunakan sebagai model untuk orang, cangkir, biri-biri, barang dagangan, sel darah merah dan yang lainnya untuk suatu obyek terpisah (untuk suatu koleksi terpisah)

Namun ada situasi tertentu dimana banyaknya obyek saja tidak memadai. Kita tidak menghitung jumlah susu dalam 'botol atau panjang jalan atau harga sebuah mobil atau panasnya suatu pembakar. Tetapi dengan gabungan bilangan asli dengan satu satuan ukuran, kita dapat memperluas kegunaannya secara bersama-sama dalam dua cara yang berbeda. Kita dapat menggunakannya untuk kuantitas yang berurutan, seperti dalam mengumpulkan obyek diskrit. Dan dengan memvariasikan pilihan kita mengenai satuan, kita dapat membuat model untuk volume, panjang, harga, temperatur, berat, massa, luas, waktu, kecepatan, potensial arus listrik, energi, frekwensi dan masih banyak lagi pengukuran lainnya.

Prinsip dasar dalam pengukuran yang biasa kita kenal adalah membilang. Ungkapan secara tegas, kita tetapkan seperti pada volume, berat, panjang dan lain-lain, dan menyebutnya sebagai satuan dari volume, berat, panjang dan lain-lain. Kemudian kita memperoleh beberapa satuan yang harus dipakai bersama-sama sehingga beratnya sama (misalnya) dari obyek yang diamati. Jadi kita mengubah pertanyaan '"how mach"? (berapa?) dalam konteks berat, kepada pertanyaan "how many units of weight"? (berapa banyak satuan berat?) jawaban itu disebut ukuran berat dari obyek. Seperti halnya menghitung adalah teknik untuk memperoleh banyaknya himpunan, maka pengukuran merupakan teknik untuk mendapatkan ukuran dari kualitas tertentu dari suatu obyek, seperti volume, panjang, temperetur.

Dalam perhitungan dan pengukuran, kegiatan fisik juga membangun aktifitas matematika. Dengan menghitung, aktifitas secara fisik biasanya singkat dan sederhana, seperti mengarahkan atau hanya melihat perubahan obyek yang dihitung sebagai peristiwa yang terjadi dengan hasil yang cepat contohnya menghitung putaran mesin. Untuk pengukuran selalu diperlukan alat-alat fisik. Contoh timbangan, penggaris, pengukur zat cair, termometer. Dari segi fisik, aktifitas tersebut bisa mudah bisa juga jadi lebih rumit dan memerlukan peralatan yang lebih ruwet. Sehingga yang menjadi masalah ahli ilmu fisik dan membuat alat (instrumen). Disini kita akan memfokuskan pada hubungan obyek­-obyek fisik, aktivitas secara matematis-fisik mengenai pengukuran, dan hasil matematika dari aktivitas ini. Dan seperti menghitung, kita dapat mengharapkan untuk memperoleh pengukuran yang lebih baik dari pada dilihat dengan mata.

Menimbang

Mengingat ada satu jenis hitungan tetapi ada banyak jenis pengukuran. Karena hal ini lebih mudah untuk dipikirkan pada tahap awal sebagai contoh dari pada urutan abstraksi yang lebih tinggi. Kita akan memulai tentang penimbangan.

Berat dan massa adalah sesuatu yang tidak sama. Berat adalah suatu gaya abstraksi bersama antara bumi dan obyek. Sedangkan massa adalah suatu cara menguraikan besarnya benda dalam satuan benda. Jika benda dibawa ke bulan beratnya berkurang tetapi masanya tetap sama. Apabila kita menimbang sesuatu hanyalah karena kita ingin mengetahui beratnya (sebagai contoh jika kita mengisi suatu kapal laut atau pesawat udara, tapi sering kali karena ingin mengetahui massanya berapa bahan yang kita ambil sebagai contoh jika kita ingin membeli keju atau batubara). Penimbangan adalah suatu cara yang sangat cocok mengenai  pengukuran massa, karena timbangan massa yang sama pada tempat yang sama memiliki berat yang sama sehingga tujuan untuk penyajian kita, bukan bendanya yang diperhatikan, melainkan massa benda  atau beratnya. Pasangan skala atau timbangan ialah suatu kelengkapan yang dapat membandingkan dua benda. Hal ini memberi tahu kita, apakah berat benda sama atau tidak dan kalau tidak sama mana yang lebih berat.

Jadi kita dapat memilih suatu obyek yang kita senangi untuk massa standar secara internasional. Diakui satu satuan kilogram (kg), yang disimpan oleh Beruau International des Poids at Measures dekat Paris. Dengan proses penyesuaian ini menyediakan suatu himpunan obyek, (katakanlah bongkahan besi) semua mempunyai berat yang sama. Hal ini biasa disebut "berat kilogram" tetapi perlu diingat bahwa berat adalah suatu gaya. Contohnya suatu bongkahan besi itu kita sebut dengan sebuah ’obyek kilogram’.

Kita dapat menggabungkan berat dari beberapa kilogram obyek dengan meletakkannya dalam panci yang berskala sama. Jika skala seimbang secara tetap dengan satu kantong tepung di dalam panci yang lain yang mempunyai berat 5 kilogram obyek, maka kita katakan berat satu kantong tepung itu 5 kg. Untuk proses ini dapat digunakan metode berikut: siapkan satu obyek standar dengan ukuran 1 kg, 2 kg, 4 kg dan seterusnya. Jika skala seimbang untuk satu kantong kentang dalam suatu panci dengan sebuah obyek 2 kg dan obyek 4 kg ke dalam panci yang lain, dikatakan bahwa berat kentang itu adalah 6 kg. Secara implisit dalam asumsi ini bahwa menambahkan satuan-satuan itu sebagai suatu model yang benar dalam menggabungkan gaya grafitasi. Kejadian ini menjadi benar, tetapi tidak akan diambil sebagai jaminan. Satu liter air pada temperatur 10°c dicampur (dengan menuangkan kedalam tempat dan adukan yang sama) dengan 1 liter air pada temperatur 40°c, memberikan 2 liter air tetapi tidak pada temperature 50°c. Suatu perjalanan sejauh 10 km ditempuh, dengan 40 km/jam digabung (dengan awal perjalanan yang satu menjadi akhir perjalanan yang lainnya) dengan perjalanan sejauh 5 km yang ditempuh dengan kecepatan 60 km/jam menghasilkan suatu perjalanan sejauh 15 km tetapi tidak dengan kecepatan 100 km/jam. lni mengingatkan kita bahwa dalam kasus yang lebih kompleks, tidak hanya menjumlahkan, tetapi mengalikan, memfaktorkan, menyelesaikan persamaan dan memanipulasi model matematika dalam cara yang cenderung kompleks kita seharusnya tidak mengerjakannya secara sebarang.

Tiga bidang pemikiran

Misalkan kita menyimpulkan bab ini dengan membedakan antara tiga bidang pemikiran yang tercakup dan cara-cara mereka berhubungan.

Bidang I; obyek fisik, peristiwa atau observasi lain

Contoh:

a. Beberapa buku tebal yang ingin dibawa dalam suatu perjalanan dengan pesawat udara

b. Air yang keluar dari kran yang panas dan dingin untuk mandi

c. Enam unit sel listrik untuk tape recorder

Bidang II; kualitas fisik dari obyek-obyek tersebut.

Contoh:

a. Beratnya

b. Temperaturnya

c. Gaya gerak listriknya

Bidang III; ide matematika, dalam hal ini ukuran dari sifat-sifatnya

Contoh :

a. Ukuran berat, banyaknya kilogram atau gram.

b. Ukuran temperature, banyaknya derajat Celsius

c. Ukuran gaya gerak listrik, besar volt.

Dalam setiap bidang terdapat operasi korespondensi yang hasilnya harus juga berkorespondensi bila model itu menjadi salah satu yang berhasil.

Bidang I; operasi pada (sajian mental dari) obyek fisik

Contoh :

a. Pengepakan semua buku kedalam koper yang sama

b. Mengalirkan air secara bersama-sama kedalam bak mandi dan mengaduknya.

c. Menghubungkan sel-sel dalam hubungan seri

Bidang II; operasi pada kualitas fisiknya

Contoh :

a. Menggabungkan beratnya

b. Menggabungkan temperaturnya

c. Menggabungkan gaya gerak listriknya

Bidang III; operasi matematika

Contoh :

a. Menjumlahkan bilangan-bilangan dari kilogram atau gram.

b. Data yang tidak cukup, kita perlu untuk mengetahui juga kecepatan aliran air, tetapi  tentu saja tidak menjumlahkan.

c. Menjumlahkan besarnya volt tase

Contoh a dan c menyatakan bagaimana variasi merupakan realitas fisik yang sebenarnya sama dengan menggunakan model matematika. Contoh seperti b mengingatkan kita untuk berhati-hati tetapi meskipun dalam kasus ini, model yang pantas bila kecepatan rata-rata aliran sama, yaitu penjumlahan diikuti dengan satu operasi lagi (dibagi 2). Jika mereka tidak sama, model tetap sederhana, diwakili oleh rumus dengan dan  masing-masing menyatakan dua kecepatan aliran air dalam satu liter per menit dan t₁ dan t₂ menyatakan dua temperatur.

        Ketika seorang menemukan bahwa dengan menggabungkan operasi matematika, dia dapat berhasil meramalkan beberapa hal fisik, dia menemukan suatu model matematika baru. Dan ketika kita menggunakan matematika untuk membantu dalam keseharian atau aktivitas ilmiah, apakah kita menjumlahkan jenis uang kertas atau menghitung frekuensi resonansi dari rangkaian listrik, kita melakukan demikian dengan membuatkan memanipulasi model matematika.