psikologi Matematika: Pemecahan masalah dalam matematika

Dalam bab terdahulu kita sudah belajar tentang bebapa konsep tentang sistem bilangan dan cara membilang. Pada bab ini kita akan belajar tentang permulaan aljabar, yang menggeneralisasikan ide-ide tertentu dari skema bilangan dalam aturan baru. Kita juga akan menyelidiki bagaimana pernyataan aljabar dapat beperan dalam dunia nyata, dan bagaimana memanipulasi aljabar supaya dapat digunakan untuk menemukan solusi dari masalah-masalah dunia nyata.

IDE SUATU VARIABEL

Himpunan dan variabel adalah dua dasar matematika. Ide himpunan telah digunakan secara eksplisit dalam matematika, sedangkan ide variabel baru digunakan secara implisit pada beberapa penerapan, dimana kita tidak bisa bekerja tanpa variabel ini. Sekarang saatnya membawa ide himpunan dan variabel dari tingkat intuitif ke reflektif. Ide dari suatu variabel adalah suatu konsep utama dalam aljabar walaupun banyak teks yang tidak menjelaskan tentang ide tersebut.

Dalam matematika, anggota hinpunan yang tidak spesifik dinamakan variabel. Contoh variabel yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari adalah : “bilangan”, “lingkaran”, “himpunan”. Pada geometri, untuk membantu pemikiran, variabel dapat disimbolkan dengan gambar, misalnya suatu lingkaran, segitiga, persegi. Bila variabel tersebut dinyatakan menggunakan suatu bilangan, maka akan menimbulkan kebingungan, sehingga variabel dinyatakan dengan menggunakan huruf. Kita bisa membuat pernyataan sebagai berikut:

Jika a, b adalah sebarang bilangan, maka

a + b = b + a

secara implisit kita mengasumsikan bahwa “a” adalah bilangan yang sama pada kedua sisi persamaan walaupun tidak tahu berapa bilangan tersebut. Demikian juga “b”. Namun ini tidak dengan sendirinya menyatakan bahwa “a” dan “b” adalah bilangan yang berbeda, karena keduanya dapat juga menyatakan bilangan yang sama. Elemen yang dapat menggantikan variabel disebut nilai dari variabel.

Selanjutnya kita bisa menggunakan sebagai simbol untuk menggabungkan dua himpunan. Kita bisa menuliskan:

Jika A dan B adalah sebarang himpunan, maka :

 

ALJABAR

Aljabar berhubungan dengan pernyataan yang termasuk di dalamnya sebarang variabel. Semua variabel yang berhubungan dengan aljabar merupakan variabel numerik yang tidak ditentukan jenis bilangannya, kecuali jika disebutkan. Bilangan ini dapat merupakan bilangan sebarang dari : bilangan asli, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan rasional atau bilangan real. Ini merupakan bentuk pertama aljabar yang telah dikembangkan, dan masih mungkin digunakan secara luas, sehingga dengan sendirinya, aljabar biasa diartikan sebagai aljabar variabel numerik.

Pertama, huruf yang menggambarkan variabel dan angka yang menggambarkan variabel dan angka yang menggambarkan bilangan tertentu, secara bebas dapat digabung dengan menggunakan operasi yang sama dan tanda relasinya untuk keduanya. Contoh:

Kita menulis                7 + 7 + 7

Dan                             a + a + a + a

Juga                             7 × (4 + a) = 28 + (7 × a)

Catatan : pada persamaan yang terakhir kita bisa menggunakan sifat distributif untuk menyelesaikan penghitungan 7 × 4. Tetapi kita tidak dapat menghitung 7 × a karena kita tidak tahu berapa bilangan a.

Bila operasi tambah dan kali digabung, maka operasi kali dihitung lebih dahulu sebelum jumlah. Kita juga bisa meninggalkan kurung dalam banyak kasus.

Contoh :   a + b × c artinya  a + (b × c)

                               bukan  (a + b) × c

kedua, untuk hasil kali perkalian dua variabel, tanda kali dapat dihilangkan.

Contoh :  b x c   bisa ditulis  bc

               2 x b   bisa ditulis  2b

tetapi 2 x 7 tentu tidak bisa ditulis 27, ini artinya 2 puluhan dan 7 satuan. Jadi   a + (b × c) biasanya ditulis a + bc. Dalam hal ini bc bukan berarti “b puluhan dan c satuan”. Ketelitian diperlukan jika dua notasi digabung.

Contoh :                                   7 (4 + a)

             Sama dengan               28 + 7a

             Dan bukan                   74 + 7a

Hal ini membantu pada awalnya sampai arti dari notasi dibentuk secara bagus.

Contoh :      bc                        sebagai b kali c

                 7 (4 + a)                sebagai 7 kali (4 ditambah a)

Hal itu dapat digunakan untuk mengingat bahwa :

      a + bc                    artinya  a + (bc)

                                    bukan   (a + c) c

NOTASI INDEKS

Perkalian dengan dirinya sendiri ditulis lebih singkat dengan menggunakan notasi indeks.

a × a                            tidak ditulis aa tapi

a × a × a                      ditulis

a × a × a × a               ditulis , dan seterusnya

dibaca ‘a pangkat empat’. Sedangkan biasanya dibaca ‘a kuadrat’ karena merupakan luas dari persegi yang sisinya a satuan. Dengan alasan yang sama dibaca ‘a kubik’ , tapi konsisten bila dibaca ‘a pangkat dua’, dan ‘a pangkat tiga’. Pada , 3 disebut indeks dan a disebut bilangan dasar.

Metode untuk menyederhanakan hasil perkalian berbagai macam pangkat dengan bilangan dasar sama, dapat dikembangkan sebagai berikut:

 

            =

Dengan cara yang sama

 

            =  

Secara umum

 

PERHITUNGAN DALAM ALJABAR

            Untuk mengerjakan dalam model aritmatika, kita harus belajar mengerjakan perhitungan bilangan misalnya 17 + 44, 51 × 65, 8 × 3. Semua perhitungan dalam aljabar dibentuk dari lima sistem bilangan. Karena sifat ini berlaku untuk bilangan asli, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan rasional, dan bilangan real, maka metode aljabar ini berlaku untuk semuanya. Kelima sifat itu adalah :

a + b                =  b + a            sifat komutatif terhadap penjumlahan

( a + b ) + c     = a + ( b + c )  sifat asosiatif terhadap penjumlahan

ab                    = ba                 sifat komutatif pada perkalian

(ab)c                = a(bc)             sifat asosiatif pada perkalian

a ( b + c )         = ab + ac         sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Sifat distributif digunakan untuk menyerdehanakan 5a + 3a, yaitu:

5a + 3a                        = (5+3)a          = 8a

Catatan bahwa kita telah menggunakan sifat distributif dari bentuk ba + ca = (b+c)a. Hal ini benar karena (b+c)a = a (b+c)

Secara implisit sifat asosiatif digunakan juga pada panjumlahan. Cara menyelesaikan agak berbeda dengancara apabila kita jumlahkan dari belakang lebih dahulu. Berikut ini kita gunakan sifat distributif dari depan kemudian dari belakang.

Contoh : untuk menyederhanakan          3(2a+5b)+6(4a+7b)

                                                            =  3 × 2a + 3 × 5b + 6 × 4a + 6 × 7b

                                                            = 6a + 15b + 24a + 42b

                                                            = 6a + 24a + 15b + 42b

                                                            = 30a + 57b

Ketika kita mengalikan, kita menyusun dan menghitung bilangan – bilangan secara aritmatika dan menyusun variabel berdasarkan indeksnya.

Contoh :          5ab ×7ab

                        = 5 ×7 × a × a ×b × b

                        = 35a²b²

Kita akan tunjukkan penggunaan kelima sifat 

(a + b )²  artinya (a+b)(a+b)

Anggaplah (a+b) bilangan tunggal. Maka

(a+b) (a+b) = a(a+b) + b(a+b)    sifat distributif terhadap penjumlahan

                   = a² + ab + ba + b²

                  = a² + ab + ab + b²       sifat komutatif pada perkalian

                              =a² + 1 x ab + 1 x ab + b²

                              = a² + (1+ 1) x ab + b²

                              = a² + 2ab + b²

Hasil ini biasa juga digunakan secara terbalik

        a² + 2ab + b²  = (a+b)²

Dengan memberi nilai b = 5 diperoleh

                   a² + 10a + 25  = (a+5)²

Kedua ruas menyajikan bilangan yang sama, tetapi untuk beberapa keperluan bentuk ruas kanan lebih banyak digunakan dari pada bentuk ruas kiri

              = (a + 10a + 25) ^1/2

                 = [(a +5)²]^1/2

                 ^{= a + 5}

PENGABSTRAKSIAN DAN PEMBENTUKAN

           

            Bagian ini disebut juga model matematika kontinu. Dibentuk dengan menggunakan bermacam – macam model matematika. Model matematika kontinu digunakan untuk mengeksplesitkan aktivitas tertentu yang implisit sebagai tahap permulaan untuk mengembangkan model – model aljabar tertentu yang secara luas digunakan dalam pemecahan masalah

            ^{Contoh pertama merupakan masalah yang sederhana yang dapat dipecahkan hampir tanpa ulasan. Hal ini memungkinkan kita untuk memusatkan perhatian pada hubungan antara masalah dan model matematika.} 

PERSAMAAN  DAN PENYELESAIANNYA

        Apa yang dimaksud dengan persamaan? Persamaan merupakan bentuk khusus dari pernyataan. Contoh –contoh sehari – hari adalah:

Hari ini adalah Jumat,

Kota dimana saya tinggal adalah Stockport,

Bilangan setelah 7 adalah 8

Dalam setiap pernyataan ini  kita nyatakan bahwa apa yang kita tulis sebelum  kata “adalah” dan kata apa yang ditulis setelah itu adalah nama yang berbeda untuk objek yang sama .

      Karena kata “is” (dalam tulisan ini kata ‘is” diterjemahkan ‘adalah’) digunakan dengan arti lain selain di atas ( bandingkan dengan “He is running”), kita menggantikannya dalam matematika dengan simbol nilai tunggal ”=” dibaca sama dengan.

Beberapa pernyataan matematika :

3 + 2 = 5

  7 × 4  = 28

                                                              101_{(basis dua)} = 5_{(basis sepuluh)}

Sebuah pernyataan matematika dan suatu persamaan mungkin benar atau mungkin salah (dalam kehidupan sehari- hari secara parsial benar,  tetapi dalam matematika tidak diperbolehkan). Seperti contoh di atas, suatu pernyataan dibuat seolah–olah “ini benar bahwa”. Kadang–kadang itu tidak jelas apakah pernyataan itu dapat dimengerti atau tidak.

           Dalam kasus persamaan yang melibatkn variabel – variabel , seperti :

6x – 3 = 7 + x

Kita tidak dapat menyatakan itu benar atau salah, karena kita tidak mengetahui nilai x. Untuk menyelesaikan persamaan ini berati kita mencari semua nilai x yang membuat persamaan benar. Himpunan jawaban yang benar disebut penyelesaian dari persamaan.

Beberapa persamaan (persamaan yang melibatkan variabel-variabel) dapat dengan mudah diselesaikan dengan pemeriksaan.

Contoh : 3 + x = 5

Kita dapat lihat bahwa persamaan itu benar bila x mempunyai nilai 2, dan salah bila x mempunyai nilai yang lain. Jadi himpunan jawab dari persamaan ini hanya mempunyai satu anggota.  Tetapi hal ini tidak selalu merupakan suatu kasus.

Contoh : (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Jika x mempunyai nilai 1, kurung pertama (x – 1) menjadi (1 – 1) sama dengan 0 (nol), dan jika nol dikalikan dengan sebarang bilangan hasilnya nol; jawaban benar. Dengan cara yang sama jika diberi nilai 2 dan -3, tetapi tidak untuk nilai x yang lain. Jadi penyelesaiannya adalah : {1, 2, -3}.

Contoh : 2 + x = 3 + x

Pernyataan ini tidak benar untuk nilai x manapun, jadi himpunan jawaban yang benar adalah setiap himpunan yang tidak mempunyai anggota yang kita sebut “himpunan kosong”. Dilambangkan dengan { }.

 

Contoh :  x² = 4     

Jika x merupakan bilangan asli, himpunan penyelesaiannya adalah {2}, akan tetapi jika x merupakan bilangna bulat, maka penyelesaiannya adalah {+2, -2}.

Jika persamaannya tidak mudah diselesaikan dengan pemeriksaan, kadang-kadang diperoleh kesulitan sehingga berputar pada menyelesaikan persamaan lain yang mempunyai himpunan yang sama. Bandingkan kedua pernyataan ini:

Hari setelah besok pagi           = kamis

Hari ini                                    = selasa

Bila pernyataan pertama benar, maka pernyataan kedua juga benar.

Kita tulis:

Hari sesudah besok pagi = kamis hari ini = selasa (mengakibatkan)

Kebalikan dari kasus ini juga benar adalah implikasi, jika pernyataan kedua benar, maka pernyataan pertama juga benar.

Hari sesudah besok pagi = kamis hari ini = selasa. (diakibatkan oleh)

Dikombinasikan :

Hari sesudah besok pagi = kamis hari ini selasa.

Tanda baru “” dibaca “mengakibatkan dan diakibatkan oleh”.

Dalam kehidupan sehari-hari biasanya kita menyatakan dua pernyataan yang ekuivalen atau memperoleh pernyataan lain yang ekuivalen. Oleh karena itu persamaan dalam matematika berkembang lebih kompleks, jadi kita membutuhkan suatu sistem. Bila kita temukan sistem itu merupakan skema yang lain, dimana materinya akan membentuk persamaan. Persamaan ekuivalen mempunyai himpunan kebenaran yang sama .maka proses untuk menyelesaikan persamaan ini akan lebih mudah dengan menemukan persamaan yang ekuivalen yang lebih sederhana

Secara jelas x = 4 akan bernilai benar jika dan hanya jika x mempunyai nilai 4. analog jika x + 1 = 5 akan benar jika dan hanya jika x mempunyai nilai 4.

Jadi                                         

Analog                                   

Dan berapapun n, berlaku      

Jadi pernyataan yang ekuivalen akan diperoleh jika kita menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan. Dan karena ekuivalen bekerja pada kedua ruas, persamaan yang ekuivalen juga akan sama apabila dikurangi dengan bilangan yang sama. Denga proses yang sama dapat dilihat juga bahwa persamaan yang ekuivalen kita peroleh dengan mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama. Bentuk-bentuk yang sebelumnya juga analog dimana “bilangan yang sama” berarti bilangan tertentu (misalnya 5, 7) atau variabel (misalnya x, 3x).

            Prinsip umum ini dapat digunakan untuk mendapatkan persamaan ekuivalen lebih sederhana yang merupakan pengembangan dari persamaan yang diberikan. Jika A, B, C merupakan persamaan maka:

AB dan BC mengakibatkan AC

Oleh sifat transitif dari relasi ekuivalen

            Berikut ini adalah tipe suatu barisan yang memuat persamaan-persamaan ekuivalen, dimulai dengan sebuah contoh:

6x – 3 = 7 + x                                          tambahkan 3 pada kedua ruas       

6x – 3 + 3= 7 + x + 3                                      sederhankan

6x = 10 + x                                                      krangkan kedua ruas dengan x

5x = 10                                                            bagi kedua ruas dengan 5

x = 2

Himpunan penyelesaian {2}.

Persamaan yang terakhir dari urutan di atas tidak perlu, karena dari 5x = 10 akan mendapat penyelesaian yaitu {2}. Catatan bahwa x = 2 bukan penyelesaian, walaupun ini sering dipakai. Penyelesaian merupakan himpunan jawaban yang benar, dan persamaan bukan himpunan tetapi suatu pernyataan.

            Sekarang akan kita terapkan skema penyelesaian persamaan untuk menyelesaikan persamaan pada model “paket liburan” pada bab terdahulu.

      x + x + 1/2x = `120                                         kalikan kedua ruas dengan 2

2x + 2x + x = 240                                           sderhanakan

5x = 240                                                          bagikan kedua ruas dengan 5

  x = 48

 

Penyelesaian {48}

Menyusun kembali penyelesaian ke dalam masalah yang asli, kita peroleh bahwa ongkosnya £48 untuk orang dewasa, dan £24 untuk anak.

Secara umum :

Jawaban soal himpunan (penyelesaian) yang benar dari persamaan.

            Dalam pemecahan masalah seperti ini, dua pekerjaan dilibatkan:

Pembentukan model matematika, dan manipulasinya yang kadang-kadang merupakan penyelesaian persamaan. Masalah-masalah seperti ini biasanya dikonstruksi khusus sebagai latihan untuk siswa, dan sangat sulit bagi siswa pertama kali menciptakan sesuatu yang seluruhnya relistik. Juga dalam mengkonstruksi model yang teratur dalam ilmu pengetahuan alam, seperti elektronik, ruang angkasa, mesin-mesin, yang memerlukan penemuan yang terkenal. Untuk mengakhiri bab ini, diberikan suatu contoh realistik dari bentuk di atas.

Soal : seutas kawat untuk penghantar listrik, mempunyai hambatan (electrical resistance) sebesar 25 Ohm untuk setiap meter. Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk elemen sebesar 1000 Watt, jika e.m.f (electro-motive-force) utama sebesar 240 volt?

            Hubungan antara power output e.m.f dan jumlah resisten dibangun dengan model :

Dimana W Watt adalah power output, E Volt e.m.f utama dan R Ohm adalah resisten. W, E, R merupakan variabel bilangan.

            merupakan model umum. Pada soal ini nilai W adalah 1000 dan nilai E adalah 240. kita akan mengetahui nilai yang berkorenpondensi dengan R.

Jadi model untuk soal ini adalah :

                                               

                                                  kalikan kedua ruas dengan R

1000 R = 240²                                                 bagi kedua ruas dengan 1000

                                                  sederhanakan

R = 57,6

Penyelesaian persamaan {57,6}

            Dengan memasukkan kembali penyelesaian ini ke dalam permasalahan, bahwa total hambatan kawat 57,6 Ohm. Jika setiap meter kawat mempunyai hambatan 25 Ohm, maka yang diperlukan adalah 2,3 meter.