Psikologi matematika: Simbol

Bab-bab terdahulu telah dibahas tentang pembentukan konsep-konsep, fungsi skema-skema (struktur-struktur konseptual) dalam menyatukan pengetahuan yang ada dan menyerap pengetahuan baru, dan kekuatan tambahan yang datang dari kemampuan untuk memikirkan skema-skema sendiri. Dalam setiap proses tersebut bagian utama diperankan oleh simbol. Simbol berasal dari kata symballo yang berasal dari bahasa Yunani. Symballo artinya melempar bersama-sama, melempar atau meletakkan bersama-sama dalam satu ide atau konsep objek yang kelihatan, sehingga objek tersebut mewakili gagasan. Menurut William Dillistone (dalam Masbied), simbol adalah gambaran dari suatu objek nyata atau khayal yang menggugah perasaan atau digugah oleh perasaan. Perasaan yang berhubungan dengan objek, satu sama lain dan dengan subjek.  Simbol memiliki fungsi lain.

Fungsi-fungsi simbol dapat dibedakan sebagai berikut :

1. Alat Komunikasi.
2. Merekam (mencatat) Pengetahuan.
3. Pembentukan Konsep-konsep Baru
4. Membuat Macam-macam Klasifikasi dengan Jelas
5. Penjelasan
6. Membuat Kemungkinan yang Mencerminkan Aktifitas
7. Membantu Menunjukkan Struktur
8. Membuat Pengerjaan rutin secara otomatis
9. Mengungkap Kembali Informasi dan pemahaman
10. Aktifitas Mental yang Kreatif

Kebanyakan hal-hal di atas saling berhubungan terutama pada point pertama. Merekam (mencatat) pengetahuan berhubungan dengan membaca, penjelasan adalah suatu jenis khusus dari komunikasi, memikirkan adalah berkomunikasi dengan diri sendiri, dan hubungan-hubungan lain yang. Fungsi-fungsi simbol dijelaskan sebagai berikut :

 

1. Alat komunikasi

            Konsep merupakan objek, pola pikir yang murni, tidak dapat didengar dan tidak dapat dilihat. Karena tidak ada cara untuk mengamati langsung pikiran seseorang, harus menggunakan alat-alat yang dapat didengar atau dilihat, seperti mengucapkan kata atau bunyi lainnya, penulisan kata atau tanda lainnya yang ditulis diatas kertas (cara penulisan)

Simbol adalah suara atau sesuatu yang dapat dilihat, yang secara mental  berhubungan dengan suatu ide. Ide inilah arti simbol itu. Tanpa  ada ide yang  melekat padanya, maka simbol tersebut tidak mempunyai arti. Simbol dan maknanya harus diterima sebagai satu kesatuan.

Harus diingat bahwa simbol dikaitkan pada konsep yang sama dalam pikiran A dan B, kemudian melahirkan simbol. A dapat memanggil konsep dari memori B kedalam pengertiannya sendiri. Sekali hubungan ini terbentuk, artinya diproyeksikan kepada simbol, maka simbol dan maknanya diterima sebagai suatu kesatuan. Akan tetapi bisa jadi suatu makna yang dilekatkan pada suatu simbol oleh seseorang berbeda dengan makna yang diterima orang lain sekalipun simbolnya sama. Misalnya kata “braces” bagi orang Inggris dapat berarti alat untuk menahan celana (supaya tidak lepas) tetapi bagi orang Amerika diartikan sebagai {kawat gigi}.

            Jika hal ini terjadi maka tidak sedang terjadi komunikasi. Hal inilah  yang seringkali salah dipahami orang. Untuk  itu kita perlu  memperhatikan konsep awal berikut ini, bahwa suatu simbol dan konsep yang berhubungan dengan simbol itu adalah dua hal yang berbeda; perbedaan ini tidak sepele yaitu antara sebuah obyek dengan nama obyek. Jika kita sebut suatu obyek dengan nama lain, tidak mengubah obyek itu sendiri, Hal ini tetap benar untuk obyek-obyek pikiran dalam konteks ide matematika.

Misalnya : “lima”, “five”, “cink” “5”, “V” , “101”

Semuanya menyatakan bilangan yang sama, tetapi dalam simbol yang berbeda.

            Biasanya jika kita menyatakan suatu simbol, kita ingin minta perhatian penerima (receiver) terhadap ide yang melekat pada simbol itu dari pada terhadap simbol itu sendiri.

            Ketelitian atau keseksamaan komunikasi perlu diperhatikan agar dapat menghasilkan ide yang sama dalam pikiran penerima  gagasan dari komunikator.

Untuk itu kita dapat  membedakan tiga kategori pendengar atau pembaca.

Pertama adalah orang-orang yang tidak mengetahui hal-hal yang kita bicarakan  namun mereka ingin tahu. Kepada mereka kita harus memilih simbol-simbol yang paling besar kemungkinannya untuk diperhatikan dan menggunakannya seteliti mungkin sesuai kemampuan kita dengan tujuan tidak mengkomunikasikan apapun selain kebenaran.

Kedua adalah orang-orang yanq mengerti apa yang kita katakan secara umum. Disinilah kita coba untuk mengkomunikasikan beberapa hal yang khusus. Bila mereka menginginkan terus bersama kita  sudah semestinya kita menghemat waktu dan konsentrasi pada hal yang esensial.

Ketiga dari pandengar atau pembaca terdiri dari orang-orang yang mengerti tentang apa yang kita katakan tetapi ingin menyalahkannya.

            Seni dalam komunikasi adalah pertama-tama untuk menangkap maknanya. Sesudah itu suatu ide yang baru dapat dijadikan subjek sebagai penekanan dari analisis dan dikaji lebih cermat sehingga kelemahan dapat ditemukan. Ketika suatu skema dapat dibentuk dengan baik maka kritik yang menyerang akan merangsang manfaat perumusan yang lebih  hati-hati, kesadaran refleksinya lebih besar dan memperkuat skema tersebut.

2. Merekam atau membentuk pengetahuan.

            Ide tidak hanya sesuatu yang tidak dapat dilihat dan tidak dapat didengar tetapi juga bisa hilang. Bila seseorang meninggal maka pengetahuannya akan mati bersamanya  kecuali dia telah mencatatnya atau mengkomunikasikannya kepada orang lain.

Merekam atau mencatat adalah suatu hal penting dalam komunikasi. Tujuannya adalah agar ide dapat dilihat atau didengar oleh orang lain baik dalam waktu singkat maupun dalam waktu lama. Komunikasi dengan simbol berbeda dengan komunikasi lisan. Komunikasi lisan berlangsung dalam lingkup dimana pertanyaan dan penjelasan diberikan. Seorang komunikator menggunakan simbol menghadapi lebih banyak kesulitan dalam menyampaikan suatu ide atau konsep. Lambang tertulis atau tercetak harus memberikan semua pengertian yang dimaksud, tanpa adanya pengulangan dari sisi tertentu. Tapi ada juga keuntungannya karena penerima mempunyai catatan tetap, untuk merivisi  dan memeriksa pokok-pokok yang telah dikemukakan terdahulu.

Seperti telah diketahui bahwa  struktur konseptual  matematika itu adalah gudang  akumulasi  pengetahuan  dari generasi-generasi sebelumnya yang ditulis dan dicetak dalam sistem simbol beserta penjelasannya yang memungkinkan dipelajari oleh generasi baru.  

            Untuk menghilangkan pengertian ganda pada pemakaian atau mengkomunikasikan simbol adalah setiap simbol hanya berhubungan dengan satu konsep dan satu konsep hanya menggunakan satu simbol. Hal ini tidak selalu dapat dilakukan.  Jika satu simbol berhubungan dengan banyak konsep maka ada tiga hal yang harus diperhatikan;

1. Kita harus yakin bahwa skema  yag digunakan  sudah dikenal oleh pendengar atau pembaca

2. Didalam skema, setiap simbol hanya sebuah ide

3. Jangan menukar skema - skema tanpa diketahui pendengar atau pembaca.       

3. Membentuk Konsep-konsep Baru

            Jika konsep yang baru merupakan konsep primer (dasar). misalnya merah, ini memungkinkan untuk dilakukan tanpa menggunakan simbol. Kata-kata ini adalah secara sederhena membantu menarik perhatian. Karena merupakan kata verbal. ‘Dasi merah’, buku merah’, ‘pencil merah’, lampu merah’ secara simultan menyatakan variasi dan contoh-contoh dan konstanta dari suatu konsep. Secara intuitif, pelajar menggabungkan sifat yang tidak seragam dengan ketidak-seragaman kata-kata, dan kemudian belajar membuat nama bagi konsep tersebut sambil membentuknya.

Jika suatu konsep merupakan suatu konsep sekunder seperti semua konsep-konsep matematika, maka cara untuk menyatukan rangkaian contoh-contoh yang sesuai dengan pikiran orang yang belajar adalah membawa seluruhnya pada kata yang bersesuaian. ‘merah. biru, hijau, kuning’ , kesemuanya merupakan warna.

Cara lain untuk mengkomunikasikan konsep-konsep baru adalah dengan menghubungkan secara bensama-sama kelas-kelas yang sudah dikenal oleh pendengar. Jika pendengar telah mempunyai kelas-kelas konsep yang dbicarakan ini berarti dia telah mengetahui contoh-contoh tersebut sehingga ia juga akan mampu memberikan contoh-contoh tentang konsep-konsep baru. Bahkan ini sering menjadi respon pertamanya, sebagian menyatakan bahwa dia telah mengerti.

            Tetapi respon tersebut juga nampak memenuhi kebutuhan yang lebih dalam. Bagaimanapun, konsep yang diperoleh itu dirasa belum lengkap sampai dia mempunyai contoh.

Contoh-contoh dari konsep baru tidak selalu berasal dan pengalaman masa lampau. Orang dapat membayangkan suatu poligon bersisi 100 tanpa  pernah melihatnya dan tidak menggambarnya. Malahan pengadaan metode generalisasi dalam matematika adalah untuk mengadakan kelas baru, dan kemudian mencoba menemukan beberapa anggotanya.

            Sebagai contoh :  kita telah mempunyai konsep akar kuadrat, bilangan negatif, dan mengkombinasikannya untuk membentuk konsep baru yaitu akar kuadrat dari bilangan negatif. Penemuan dari contoh-contoh kelas baru ini serta meneliti sifat-sifatnya  akan menuju  kepada rangkaian  susunan ide-ide baru  dimana meskipun  berbentuk bilangan imajiner namun digunakan dalam fisika  misalnya dalam teori arus bolak balik dan rangkaian osilator.

4. Membuat bermacam klasifikasi dengan jelas

            Suatu objek tunggal dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara dengan menggunakan atau memberikan nama-nama yang berbeda untuk objek tersebut. Kita dapat menunjukkan bahwa bagian klasifikasi mana yang sedang digunakan. Seorang laki-laki dapat disebut sebagai Pak Brown  “pak” ’Orang laki-laki terhormat’ “Paman Delit” , “Ayah” . Bilangan yang sama dapat dipandang sebagai kuadrat dari 8, 4 pangkat 3, atau 10 kuadrat dikurangi 6 kuadrat, disimbolkan dengan  8² , 4³ , 10² – 6²

            Sebagairnana disebutkan terdahulu kita tunjukkan bahwa kita masih mengacu pada objek yang sama dengan rnanggunakan simbol “=“, dan dengan penamaan kembali menurut kebiasaan yang ada kita dapat mencari sifat-sifat yang pada mulanya tidak jelas.

Contoh

4x² - 12xy + 9y² dimana x dan y keduanya merupakan peubah (variabel)

Kita tahu bahwa kumpulan simbol ini mempresentasikan beberapa bilangan. Tetapi dengan menuliskan, 4x² -  l2xy + 9y² =(2x - 3y)² kita mengetahui sesuatu  yang baru bahwa simbol-simbol itu menggambarkan suatu bilangan positif

            Meskipun prinsipnya sederhana namun berakibat pada penemuan yang jauh. Suatu kali kita mempunyai klasifikasi sesuatu secara tepat kita mempunyai banyak cara untuk mengetahui ketepatannya. Hal ini dapat membantu kita memecahkan problem yang kita hadapi, sehingga lebih banyak cara lagi untuk mengklasifikasi, sehingga kita dapat memecahkan problem yang lebih bervariasi. Lebih banyak simbol yang dapat digunakan pada konsep yang sama maka lebih banyak cara untuk mengklasifikan.

5. Penjelasan

Penjelasan adalah suatu bentuk komunikasi yang disengaja, yang memungkinkan seseorang dapat memahami sesuatu yang sebelumnya tidak dipahami. Memahami adalah hasil dari asimilasi terhadap skema yang ada, sehingga bila terdapat kegagalan, ada tiga kemungkinan penyebabnya, yaitu:

a) Penggunaan skema yang salah. Dalam keadaan ini diperlukan penjelasan yang sederhana untuk mengaktifkan skema yang tepat. Di dalam buku ini, kata-kata seperti: fungsi, bayangan, grup, dan lain-lain digunakan dalam pengertian sehari-hari, Juga dalam pengertian matematik. Kegagalan dalam memahaminya dapat disebabkan karena pemberian arti yang berbeda dari yarg diharapkan. Ini adalah semata-mata soal konteks.

b) Kesenjangan antara ide-ide baru dengan skema yang sudah ada terlalu besar. Sebagai contoh :

Misalkan mulai dengan menunjukkan notasi – notasi berikut:

              

dan kemudian langsung

     

              Besar kemungkinan pelajar mengatakan dia tidak memahami, mungkin juga mengatakan “Anda terlalu cepat”. Dalam hal ini penjelasan diperlukan untuk memperbaiki tahap-tahap yang digunakan. Dengan cara demikian jaraknya dapat dijembatani. Dalam istilah psikologi, pemberi penjelasan akan mengemukakan simbol-simbol yang cocok untuk membangkitkan konsep-konsep yang berhubungan dengan skema yang ada dengan ide-ide baru.

c) Skema yang sudah ada mungkin tidak mampu menyerap ide-ide baru tanpa pemberian akomodasi, khususnya dalam kasus generalisasi matematika. Dalam keadaan ini fungsi penjelasan adalah membantu pelajar untuk menggambarkan skema yang dipikirkannya, untuk melepaskan contoh-contoh atau ide-ide murni yang mempunyai pengaruh penyempitan dan untuk memodifikasikan ide-ide tersebut secara tepat. Perluasan notasi bilangan nol, negatif dan pecahan merupakan contoh kasus ini, jika ide baru disajikan dalam komunikasi lebih lanjut diperlukan untuk memahaminya. Nampaknya cara ini dapat digunakan dalam pengajaran. Tidak diinginkan menempatkan para pelajar pada sesuatu yang tidak sesuai dengan tingkatan yang sudah dimilikinya. Program ini tidak menawarkan suatu tantangan dan tidak banyak variasi. Seringkali bermanfaat untuk memperhatikan permasalahannya dulu, misalnya penemuan sesaat tentang kecepatan dan seseorang penerjun bebas. Berikutnya mendefinisikan dengan tepat tentang “kecepatan sesaat” dan modifikasi pengembangan dengan proses proses deskripsi konsep-konsep baru (misalnya limit) yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

6. Membuat Kemungkinan yang Mencerminkan Aktifitas

            Ini meliputi kesadaran seseorang terhadap konsep-konsep dan skema-skema sendiri, menangkap hubungan  dan strukturnya dan memanipulasi dengan berbagai cara. Ketiga sistem berpikir ini  dilukiskan  pada gambar dibawah  ini oleh persegi panjang yang ditandai

“Penerima“ proses pikiran perantara” dan “pelaksana”.  

Dalam konteks ini  “proses pemikiran“ adalah  pengetahuan dan segala aktivitasnya dan disebut sebagai intelegensi refleksi. 

            Proses untuk menjadi sadar terhadap  konsep miliknya pertama sekali  nampak sangat sulit. Itu terjadi beberapa tahun pada masa kanak-kanak. Meskipun  demikian  bagi orang-orang yang mempunyai  pengembangan  kemampuan  reflektif  yang tinggi  masih perlu  berusaha  dalam mencari bentuk baru

            Untuk membangun suatu ide-ide dengan sengaja nampak erat hubungannya dengan  mengasosiasikan  simbolnya, tapi hal ini nampak belum banyak diketahui . Konsep-konsep merupakan objek-objek  yang sukar dipahami  dan tidak diperoleh  begitu saja dan mungkin bahwa simbol-simbol (yang berupa konsep dasar) sebagian besar merupakan jenis konsep yang abstrak yang dapat diketahui dengan jelas. Tentu saja beberapa proses pengetahuan dapat meningkatkan kekuatan berpikir. Pada akhirnya assosiasi telah membentuk sampai tampak sebagai  label dan handel sehingga kita dapat memilih ( dari memori kita ) dan memanipulasikan konsep-konsep kita. Hal ini akan lebih leluasa dengan menggunakan simbol-simbol yang dapat dikontrol oleh pikiran kita.

Contoh simbol yang mencerminkan aktifitas adalah simbol menya-takan dilarang masuk.          

            Berpikir  verbal ( yang secara luas dapat meliputi aljabar dan simbol-simbol lain yang dapat diucapkan) merupakan kecepatan internal, dapat dikonfirmasikan dengan mengamati tingkat perubahan pada anak-anak.  Penggunaan simbol-simbol yang dapat diucapkan dalam berpikir berhubungan erat dengan komunikasi, salah satunya dinyatakan dengan komunikasi dengan diri sendiri. Jadi membangun pikiran seseorang tampak seperti sirkuit  pendek dari proses mendengar dirinya sendiri kemudian menceritakannya pada orang lain. Pandangan ini didukung oleh observasi umum bahwa sesungguhnya berlaku sebagai pendengar yang baik (pemikir keras) hampir selalu membantu ketika orang lain sedang menyelesaikan masalah / problem .

7. Membantu Menunjukkan Struktur

            Pada bagian ini akan dijelaskan bagaimana hubungan ide-ide dan bagaimana cara mengintegrasikannya. Jangkauan memory untuk mengingat informasi yang diberikan dengan sekilas hanya sedikit, sebagai contoh : banyaknya informasi yang dapat ditangkap oleh seseorang dalam suatu saat pada keadaan sadar sangat terbatas. Topik yang lebih sulit, lebih banyak memerlukan konsentrasi dan perhatian dalam berpikir dalam suatu saat, tapi juga memerlukan ketepatan dalam mengarahkan dengan cepat sebelum bekerja. Jadi,  satu catatan, satu pikiran pada kertas sebagai catatan kemajuan. Ini bentuk yang lebih permanen dari “berpikir keras” yang telah didiskusikan pada bagian sebelumnya, dengan mengurangi ketegangan pengetahuan dalam menjaga informasi yang relevan yang dapat diterima secara menyeluruh.

            Cara lain dalam mengurangi ketegangan pengetahuan dan kelebihannya, adalah dengan penjelasan notasi matematika.

Bandingkan :

            Pemilihan  simbol yang sesuai dapat menjadi sangat membantu dalam menarik konsep yang cocok dalam hubungan-hubungan yang sesuai.

            Notasi yang biasa untuk logaritma sebuah bilangan x pada basis a adalah  (baca : logaritma dengan basis a dari x). Dari definisi logaritma, yang tidak butuh perhatian kita disini (dijelaskan pada Bab 14), jika logaritma itu dinotasikan dengan n,

Kemudian                                                       x = aⁿ.

Notasi                                                     log_a x = n

Mempengaruhi untuk menuliskan                  a = xⁿ,                          yang salah

Jika bagaimanapun menuliskan (log x)_a = n      (log x untuk basis a)

Ini membantu untuk mengingat bahwa x = aⁿ.

           

            Cara konvensional untuk menyebut sudut ini adalah ÐABC. Ini membayangkan bahwa vertex dari sudut ini adalah A, yang tidak benar. Kalau tidak ada arti ganda, kita maksudkan Ð B, bukan Ð A.

Kebiasaan penggantiannya  adalah lebih baik dilihat dari segi pandang ini, biarpun kurang umum dikalangan pencetak-pencetak. Tetapi marilah kita pikirkan, ide-ide yang kita lambangkan. 

Sebuah sudut ditentukan oleh dua arah lewat sebuah titik. Tiap arah dapat digambarkan oleh satu sinar lewat titik itu pada sebuah sudut dilukiskan oleh dua sinar,  dan , kalau kita berurusan dengan satu putaran dari satu arah ke arah lain, digambarkan dengan sudut yang ditandai (konvensinya adalah memakai putaran lawan jarum jam) sebagai positif, hal ini dilukiskan oleh sepasang sinar yang teratur ( , ) yang dapat diangkat jadi  dan dimana tidak ada timbul arti ganda pada B.

Penambahan dengan pengurangan sudur-sudut pada suatu titik dapat disederhanakan menjadi aljabar sederhana saja, sekali “aturan penghapusannya” telah dilihat dan diingat.

Pengurangan sebuah sudut sama dengan penambahan kebalikannya  (inversinya) ialah sudut yang sesuai dengan putaran ke arah yang berlawanan.

Jadi: 

A

                            

Apakah yang terjadi kalau kita mencoba mengurangi sudut yang lebih besar dan sudut yang lebih kecil ?

Mari kita coba secara aljabar : 

Sudut ini

					dikurangi sudut ini
			ditambah sudut ini
	Sama dengan sudut ini

Yang sama dengan sudut ini, yang masuk akal

Kembali persamaan pertama :  dan dibandingkan dengan , bagi anda yang terbiasa menggunakan penambahan pada sektor bebas akan mengakui bahwa pengerjaan penambahan dan pengurangan sudut secara aljabar tersebut, isomorf dengan penambahan dan pengurangan vektor bebas.

Pada sembarang kasus, anda boleh tidak yakin terhadap argumen yang diberikan, tetapi diharapkan ada sedikit persetujuan bahwa pemilihan notasi perlu dilakukan secara berhati-hati, dan memperhatikan efektivitas penggunaan notasi untuk suatu ide yang sangat tergantung kepadanya.

mod 4	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

mod 5	1	2	4	3
1	1	2	4	3
2	2	4	3	1
4	4	3	1	2
3	3	1	2	4

Itu dapat dilihat dari tabel ini bahwa kedua group itu isomorfik; keduanya menjadi group siklik order 4.

mod 5

Tetapi jika tabel sebelah kanan itu ditulis kembali dalam dua berpangkat, sifat isomorfiknya dinyatakan lebih bagus.

Pembaca juga akan mengamati bagaimana dengan lembut notasi petunjuk umum pada konteks baru. Ini, tentunya, adalah patokan untuk notasi yang bagus.

8. Membuat manipulasi  rutin secara otomatis

            Berfikir merupakan suatu pekerjaan  yang berat. Sekali kita mempunyai pemahaman tentang  proses  matematika maka hal itu merupakan suatu keuntungan besar  karena  kita dapat bekerja dengan cepat  pada kesempatan berikutnya, tanpa harus  mengulang-ulang setiap waktu konsep-konsep yang rumit. Jika telah mendapat kemajuan dalam proseas matematika itu, tentu saja sifat-sifat dasar dalam proses-proses matematika yang mendasar menjadi otomatis. Pada berbagai tingkatan kita juga dapat membedakan antara manipulasi-manipulasi rutin dan aktivitas pemecahan masalah, kecuali kalau yang dikerjakan dengan perhatian minimal, tidak mungkin akan mencurahkan perhatian secara penuh pada beberapa kesulitan yang dihadapi. Kondisi ini juga dijumpai pada berbagai ketrampilan yang dipelajari. Tidak seorangpun dapat mengendara yang baik sampai ia dapat memindah persneling tanpa berpikir. Seorang ahli violing tidak dapat menafsirkan suatu teknik bermain musik tanpa mengalami suatu kesulitan.

Dalam matematika hal ini dikerjakan dengan melepaskan simbol-simbol dari konsepnya dan memanipulasi  menurut bentuk-bentuk yang biasa dipakai  tanpa menghiraukan artinya. Kegitan otomatis dari tugas-tugas rutin harus jelas perbedaannya dari simbol-simbol tak berarti dari manipulasi mekanik, yang bukan matematika. Seorang matematikawan bekerja sercara otomatis, setiap saat dapat menunda kehendaknya dan memanggil kembali artinya dari simbol-simbol, dan dia harus dapat dengan mudah dari suatu bentuk aktivitas kelain aktivitas sesuai dengan syarat-syarat dan tugas-tugas yang dikerjakan.

            Hasil karya ekonomi  merupakan contoh yang bagus. Pertama kita belajar memanipulasi konsep-konsep sebagai ganti obyek real, kemudian memberikan nama konsep selanjutnya memanipulasi nama tersebut. (Dan jika manipulasi dapat disederhanakan menjadi proses mekanik kita dapat menggunakan komputer untuk mengerjakannya). Akhirnya kita dapat menarik kembali proses dengan cara mengambil kembali konsep-konsep pada simbol-simbol, kemudian mewujudkan konsep itu dalam tindakan nyata dengan objek nyata yang telah diabstraksikan pada saat awal.             

            Kekuatan  matematika  adalah sangat luas dan pada semua  tingkatan, simbol simbol  memberikan sumbangan yang cukup besar di dalamnya.  Tapi tanpa kemampuan dari matematikawan  untuk menanamkan pengertian, semua tak ada gunanya.

9. Mengungkap  kembali  informasi dan pemahaman

            Dalam bagian ini  kita menekankan pada penggunaan simbol  mengungkap kembali konsep konsep  dan skema yang tersimpan dalam memori seseorang.  Meskipun konsep yang digunakan merupakan  obyek yang dihindari  yaitu sudah tidak dikerjakan untuk beberapa lama atau mungkin sama sekali tak dapat dicapai tanpa menggunakan  beberapa cara  untuk mengungkap kembali.

            Contoh berkaitan  dengan pengetahuan tentang persamaan kuadrat.  Apakah persamaan kuadrat berikut mempunyai akar nyata?.

                        3x² - 4x + 2 = 0   

Pada kebanyakan kasus istilah “deskriminan”  atau  simbol: ”b²-4ac” perlu diperhatikan terlebih dahulu. Setelah itu dasar-dasar  metode untuk menyelesaikan  kasus itu perlu diingat kembali.

            Suatu contoh lagi, sudah pernakah anda ketemu seorang teman sekolah lama yang sudah tidak anda kenal. Tetapi setelah ia  berkata “ saya ……..”  anda bukan hanya mengenalnya, tetapi bahkan teringat segala sesuatu tentang dia.

            Proses mengingat  kembali  informasi  dengan bantuan simbol-simbol itu ditunjukkan oleh kemampuan  mengahafal  terlepas  dari konsep.

Contoh :

 

Hai ini bermaksud baik untuk mengingat tanda dari pembagian sudut trigonometri dari 0^o sampai 360^o. Diagram di atas menunjuikkan perbandingan sudut-sudut positif.

            Perbedaan menghafal dengan sebuah formula adalah formula mengorganisikan struktur yang harus diingat kembali.  Oleh karena itu dari sebuah formula  pemahaman dapat dikonstruksikan, meskipun tidak dengan segera dapat diingat kembali simbol- simbol yang dimaksud. Dengan melihat atau mendengar istilah hukum ohm, formula             

Untuk kebanyakan orang hal itu dapat dibangkitkan kembali dengan sengaja dari ruang penyimpanan memori. Selanjutnya  dari formula  mudah untuk mengkonstruksi  pengertiannya. Jika diberikan sebuah medan listrik  maka  arus yang mengalir  dengan voltase ganda  juga akan meningkatkan ampere sebesar dua kali lipat.  Urutan-urutan untuk mengingat kembali: pertama simbol-simbol, kemudian makna  simbol tanpa kecuali. Pada saat mengingat kembali sebuah percakapan  atau sesuatu yang dibaca  sebagian orang dapat mengingatnya kembali artinya  tetapi dalam ba  hasanya sendiri.

Dalam matematika, yang kita simpan adalah kombinasi struktur konsep yang diasosiasikan dengan simbol, karena itu lebih baik untuk mengingat secara total. Pertanyaannya adalah bagian dari kombinasi simbol dan konsep mana yang lebih mudah dikuasai, ketika kita mencoba mengingat kembali materi-materi yang tersimpan pada ruang penyimpanan memori. Bukti mengingat kembali simbol-simbol lebih mudah dicapai itu ada, tetapi seberapa besar, masih perlu penelitian lebih lanjut.

           

10. Aktvitas mental yang kreatif

           

Pembentukan konsep  yang terdiri dari formasi  ide-ide  baru dari ingatan  masing masing individu merupakan faktor faktor kreatif. Oleh karena itu mempelajari dengan cara ini  matematika adalah suatu pencarian yang menantang. Tapi penjelasan yang digunakan lebih mengutamakan pada  kreasi ide-ide, dimana tidak seorangpun yang dapat mengerjakan sebelumnya, baik untuk memulai sesuatu atau untuk menyelidiki keberadaan sesuatu. Sekali pemahaman  baru diperoleh hal itu dapat dikomunikasikan  dalam  cara-cara yang siap didiskusikan satu sama lain, dimana skema-skema sudah cukup jauh dikembangkan  dalam arah  yang benar untuk dapat diasimilasikan.

Gisellin dalam karya klasiknya “proses kreatif” telah  dikoleksi bersama-sama dengan laporan hasil karya cipta pada beberapa bidang: musik, jurnal, ilmuan, matematikawan.   Dari ini, apa yang   muncul barangkali dengan jelas  bahwa  proses ini akan  tidak melaksanakan untuk memerintahkan. Bagian penting dari aktivitas ini adalah bahwa keduanya  merupakan ketidaksadaran dan tidak sengaja.     

Bagaimanapun diakui bahwa sebuah proses aktivitas memerlukan permulaan yaitu diperlukan untuk berkonsentrasi  dengan sunggunh-sungguh  pada suatu masalah. Maksudnya  ada suatu priode  tertentu dimana suatu  problem dikesampingkan, jadi sejauh ini kesadaran ingatan yang diperhatikan adalah saat pelemasan, situasi releks, kegiatan mental atau  kegiatan jasmani lain atau istirahat. Nampaknya selama periode ini, tanpa sadar  kegiatan mental konsen dengan problem yang berkelanjutan, secara tiba-tiba pemahaman yang berhubungan  dengan problem, mungkin  merupakan penyelesaian yang komplit, mencuat dalam kesadaran, suatu saat ketika tidak ada ketenangan kerja problem ini  dalam kemajuan. Pemahaman ini disertai dengan perasaan  yang senang dan yang menarik, penting untuk dikomunikasikan.

            Selama pada tingkat pusat dimana keberadaan ide-ide secara tiba-tiba cocok dengan cara baru untuk menghasilkan ide baru. Tidak mungkin untuk mengatakan berapa besar simbol-simbol memainkan  peran yang penting  atau mempunyai  andil disini. Pada bagian  terdahulu  dan pada tingkatan berikutnya  bagaimanapun juga  fungsi mereka cukup penting. Tahap pertama adalah kuatnya konsentrasi  pada problem  dimana semua ide  yang relevan  dibawa bersama dan dipertimbangkan dari beberapa aspek  dan dalam kombinasi-kombinasi yang berbeda  dan hubungannya satu sama lain. Selama periode dari refleksi ini  simbol memainkan suatu bagian  dasar, untuk itu kita mengontrol secara sengaja  pemikiran kita. Hal ini bisa terjadi dengan baik  jika pada tahap ini    kontribusi konsep dimunculkan pada tingkatan yang lebih tinggi dari aktivitas untuk sintesa berikut pada level bawah sadar.

Jika  pemahaman telah terjadi, hal itu memungkinkan mengingat simbol-simbol yang sesuai secara spontan untuk menunjukan adanya assosiasi dengan proses  membuat kesadaran. Tetapi hal ini muncul tidak komplit, dan simbol-simbol diteruskan dengan sengaja sadar, membuat kemungkinan komunikasi dan rekaman terhadap hasil-hasil dari proses  kreatif. Formulasi dan rekaman yang dengan secara teliti diasosiasikan proses sadar secara penuh, sering dideskripsikan  sebagai usaha yang susah payah.

            Celakanya tidak semua ide-ide diperoleh dengan cara-cara demikian dapat memenuhi kesanggupan mereka. Setelah pemahaman seharusnya diikuti dengan  pemeriksaan atas kebenarannya. Dalam sains ini berarti menguji ide dengan eksperimen. Dalam matematika ini berarti analisa logika, menguji konsistensi internal, dan menerima pengetahuan. Sekali lagi bahwa sebuah proses refleksif  fttftfrtcfrtrfruntuk simbol-simbol adalah hal yang essensial. Jika pemilihannya dengan hati-hati berkontribusi secara langsung untuk menyatakan  sebuah struktur baru.